Grazie! molto utile questo indice
segnalo che
questo post linkato nell'indice, non viene mostrato bene per via del nuovo parser delle formule (mancano alcuni \$), se interessa lo ho sistemato qui in spoiler
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$X = NN x NN$
$(a,b)\rho(c,d) : \{(a+d > b +c),(a+d = b+c ; a\leqc):}$
Anzitutto dimostriamo le tre proprietà Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva.
Riflessiva:
$(a,b)\rho(a,b)$
$a+b = b+a$ e $a\leqa$
Antisimmetrica:
$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(a,b)$
$a+d>b+c$ e $c+b>d+a$ assurdo quindi $a+b=b+c$
Quindi: $a+d=b+c$ con $a\leqc$ e $c+b=d+a$ con $c\leqa$.
da $a\leqc$ e $c\leqa$ possiamo dedurre che $a=c$ e quindi da $a+d=b+c$ con $a=c$, $b=d$.
Transitiva:
$(a,b)\rho(c,d)$ e $(c,d)\rho(e,f)$ quindi $(a.b)\rho(e,f)$
$a+d>b+c$ e $c+f>d+e$ quindi facendo qualche passaggio
$a-b > c-d$ e $c-d>e-f$ quindi si conclude che $a-b>e-f$ che scritto come da relazione è: $a+f>b+e$
Se invece $a+d=b+c$ e $a\leqc$ ; $c+f=d+e$ e $c\leqe$ possiamo subito dire che $a\leqe$ e poi facendo i passaggi di cui sopra concludiamo che $a+f=b+e$
E conclusione delle conclusioni $(a,b)\rho(e,f)$.
Ora troviamo elementi Massimali e Minimali, qui m'ingrabuglio sicuro...
Massimali:
C incluso uguale X
$(x,y)\inX$ tale che $forallc,d \inC$ , $(x,y)\ne(c,d)$ $(x,y)(c,d)\notinX$ giusto?
Allora se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è massimale poichè con $(c,d)>0$ e $d>c$ otteniamo $0+d>0+c$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è massimale poichè se $d>y$ e $c<x$ abbiamo che $x+d>y+c$ che $\inX$ esempio: $x=1$ $y=1$ $d>1$ e $c<1$ quindi $1+2>1+0$
Se $x>0$ e $y=0$ non è massimale poichè basta $c<x$ e $d=0$
Se $x=0$ e $y>0$ non è massimale poichè $d>y$ e $c=0$ sarebbe $\inX$
Minimali:
C incluso uguale X
$(x,y)\inX$ $\forall a,b \in C$ $(a,b)\ne(x,y)$ e $(a,b)(x,y)\notinX$
Se $x=0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè con $(a,b)>0$ e $a>b$ otteniamo $a+0>b+0$ che $\inX$
Se $x>0$ e $y>0$ la coppia non è minimale poichè se $a>x$ e $b<y$ abbiamo che $a+y>b+x$
Se $x>0$ e $y=0$ la coppia non è minimale poichè basta che $a>x$ e $b=0$ lo stesso vale per $x=0$ e $y>0$ basta che $b<y$ e $a=0$