Isomorfismo di Frobenius

[oronte83]

Ciao a tutti,
sto preparando un esame di algebra superiore e si enuncia il seguente teorema:

se A è un anello integro e finito è un campo. Cioè (x+y)^n=(x^n)+(y^n)

Dice la dimostrazione è banale ( ) poiche l'applicazione x ---- > x^n è l'isomorfismo di Frobenius.

Qualcuno saprebbe spiegarmi?
Ho cercato su tutti i libri di algebra che ho, su internet ma non capisco cosa c'entri il fatto che la mappa è l'isomorfismo di Frobenius con la proprietà dell'anello di essere chiuso.
Grazie

[amel]

Questo è il mio secondo post!
Francamente non sono in grado di darti una risposta precisa, ma qualche suggerimento (non necessariamente giusto o che forse avrai già notato).
La caratteristica di un anello integro (io lo chiamo dominio) finito è quello di essere un numero primo p.
Vediamo la formula (x+y)^p=(x^p)+(y^p). Usiamo il teorema del binomio di Newton e poi rimangono solo i due addendi a destra perchè tutti gli altri sono del tipo p moltiplicato per qualcosa che sono tutti 0 proprio per il fatto che la caratteristica è p. La formula che dici forse è quella, ma non ricordo molto dell'omomorfismo di Frobenius...
Comunque, spero di aver contribuito a cominciare a "snebbiare" un po' la tua mente sull'argomento...
Lascio ai più esperti (e con maggiore memoria...) risposte più autorevoli... Ciao!

[oronte83]

Ti ringrazio della risposta.
Infatti io avrei sfruttato il fatto che la caratteristica è un numero primo, piuttosto che l'isomorfismo di Frobenius (è un omomorfismo come dici tu, però su anelli integri è biunivoco).
Lascerei perdere quindi Frobenius e lo giustificherei con la caratteristica.

[Woody]

Una dimostrazione possiblie del fatto che ogni dominio d'integrità $D$ finito è un campo è la seguente:
fissiamo $a\in D$ diverso da zero e consideriamo: $f: D -> D$ definita da: $f(x) = a\cdot x \qquad\forall x\in D$. Poichè $D$ è un dominio risulta che:
$a\cdot x = a\cdot y \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$a\cdot (x - y) = 0 \qquad \Leftarrow\Rightarrow $
$x = y$ . Dunque $f$ è iniettiva; ma poichè $D$ è finito risulta che $f$ è necessariamente anche suriettiva e quindi esiste $b\in D$ tale che: $f(b) =1$ cioè: $a\cdot b = 1$. Quindi $a$ è invertibile.