campi ordinati!

[Thomas]

Ciao!!!!!!

ampliamo un campo ordinato aggiungendo un elemento x indipendente... Il nuovo campo sarà dato dalle frazione $p/q$ ove $p$ e $q$ sono polinomi in x con coefficienti nel vecchio campo (dividere vuol dire moltiplicare per l'inverso)...ora io sò che questo nuovo campo si può ancora ordinare con una nuova relazione d'ordine che coincide con quella vecchia per quanto riguarda il campo di partenza....

Ma qualcuno di voi sà qual'è questa relazione????

[Thomas]

Se vi interessa girando su internet ho trovato una relazione d'ordine che si può inserire tra i polinomi $K[x]$ dove K è il campo di partenza:

$f>=g<=>coeff.term.max(f-g)>=0$

anche questo però come si verifica che è una relazione d'ordine??? Si può fare per casi (ne escono tipo 9): fattibile ma lungo.... Se volessimo fare la medesima cosa anche per il problema sopra mi pare di aver capito che si potrebbe porre $p/q>=0<=>ab>=0$ ove a è il coeff. di grado max del numeratore e b quello del denominatore... ma i casi così diventerebbero innumerevoli... (non è vero, ma cmq troppi )... un buon matematico samaritano mi salverebbe da questa fatica???

[Thomas]

Supponendo $x>=a$ per ogni $a$ appartenente a K, la relazione d'ordine descritta nel post precedente pare che sia obbligata per mantenere le proprietà di campo ordinato....

Ora forse si può utilizzare che in un campo ordinato $a>=0<=>a^(-1)>=0$... (mi pare valga anche se non l'ho ben verificata)... questo porterebbe appunto a identificare la nuova relazione d'ordine dicendo che se il prodotto tra quei due termini è positivo allora la frazione è maggiore o uguale a 0, come dicevo nel post precedente... (quà si sono utilizzate altre proprietà dei campi che non padroneggio, quindi spero siano vere, tipo che due numeri negativi moltiplicati danno un positivo)....

mi sono abbastanza convinto che la relazione se esiste è quella là... rimane sempre quella marea di calcoli....

[Thomas]

uppiamo...

[infinito]

Non ho ben capito il problema.

Se voglio essere sintetico ed ho a disposizione il concetto di limite posso dire: se a e b sono le frazioni da confrontare si ha che:
a>b sse il limite, per x che tende all'infinito di (a-b) è “positivo” (cioè più infinito, un numero positivo, oppure “0 da destra”);
a<b sse b>a;
a=b sse a-b = 0 .




Se non si usano i limiti, per la frazione a introduco seguente la notazione:
Chiamo a=an/ad (numeratore fratto denominatore)
Chiamo c(p) il coefficiente, se esiste, del monomio di grado massimo del polinomio p, altrimenti (se p è nullo) c(p)=0 .

Allora il segno della frazione a è il segno di c(an)·c(ad)

Siano infine a e b le frazioni da confrontare:

Se a e b sono discordi il segno è quello indotto dal confronto con 0.

Se sono positive allora
a>b sse (a-b)>0
a<b sse (a-b)<0
a=b sse (a-b)=0

Se sono negative allora
a>b sse (a-b)<0
a<b sse (a-b)>0
a=b sse (a-b)=0



sono tanti casi?

Ma tu allora come definiresti la somma fra numeri interi relativi?

[Thomas]

Credo che tu abbia capito il problema, anche perchè le due relazioni sopra (equivalenti se non sbaglio!) equivalgono a quella che avevo scritto... ottimo!

Il mio problema più grosso è verificare che quella sia una relazione d'ordine, ovvero che gode delle proprietà di anti-simmetria, riflessività e transitività (la più problematica!)... Per la relazioni solo tra polinomi io avevo proceduto per casi guardando i gradi dei coefficienti, ma il medesimo metodo per le frazioni è lungo... come si farebbe altrimenti per verificare la transitività???

ps: utilizza la def senza limite perfavore!

[Thomas]

Forse ho trovato un metodo:

Noi sappiamo che se definiamo un sooto-insieme P dele campo delle frazioni tale che P intersezione -P sia nullo, P unione -P dia tutte le frazioni, e la somma oltre che la motliplicazione di elementi di P diano ancora elementi di P, allora questo sottoinsieme induce una relazione d'ordine... visto l'unicità della relazione d'ordine che si può creare deve per forza essere quella sopra...

Ma allora possiamo evitare di fare tutte le verifiche se definiamo un tale insieme P, che non sembra poi problematico....

ok, scusa vado di fretta... non preoccuparti di farmi vedere che "era banale"! Quando non vedi una cosa, non la vedi, non c'è nulla da fare

[Thomas]

Ciao! Ma cosa ne pensi ti quanto detto sopra?
In particolare secondo te è automatico dimostrare la dis triangolare o un pò laborioso?

[Thomas]

Up.... dai che il problema è interessante.... come lo dimostrereste voi altrimenti che esistono infiniti campi ordinati???? Come potreste vivere senza sapere ciò????

(perlomeno una infinità numerabile )

[Woody]

come lo dimostrereste voi altrimenti che esistono infiniti campi ordinati???

Esistono infiniti campi intermedi fra $QQ$ e $RR$, e questi sono tutti ordinati.
Comunque, devo ammettere che non sono ferratissimo sulle relazioni d'ordine. Mi potresti dare la definizione di relazione d'ordine?