Insiemi e Logica Matematica

[Bemipefe]

Bene Bene......

Però credo che il fatto di essere un sottoinsieme di un generico insieme $A$ implica che il sottoinsieme sia anche un elemento di $A$

Dalla logica che ho studiato io:

$A = {1,2,B}$ e $B = {3,4}$ quindi $B in A$ è lecito scriverlo! Come e lecito scrivere $B \subseteq A$ perchè A = {1,2,{3,4}}
se invece
$A = {1,2,{B}}$ e $B = {3,4}$ allora $B in A$non è corretto scriverlo! Come non è lecito scrivere $B \subseteq A$ perchè A = {1,2,{ {3,4} }} semmai potrò scrivere che ${B} in A$

Tornando ai sottoinsiemi impropri
bisogna stabilire se è vero che $\emptyset in A$ oppure che è vero ${\emptyset} in A$

Per quanto detto da ottusangolo

I*I=I e I*0=0

il tuo ragionamento è abbastanza corretto anche se è molto intrecciato e non ho avuto tempo di analizzarlo bene, tuttavia quello che ho riportato del tuo discorso (secondo me) risulta vero solo se $I = \emptyset $ e quindi $I \times I = I$ e $I times \emptyset = \emptyset $ ....non ho capito cosa volevi affermare con queste due eguaglianze.

[ottusangolo]

Mi spiace ma non riesco a spiegarmi meglio, comunque il ragionamento mi pare abbastanza lineare seppur un po' astruso.
O.K su tutto ,è quello che volevo dire. Magari ho sbagliato a scrivere I={a, b,c, I,0} ma volevo solo indicare che un insieme contiene se stesso e l'insieme vuoto,0.E li deve contenere
perchè facendo l'intersezione che ho indicato con * sembra naturale richidere che I*I=I e I*0=0. I invece non contiene ad es { {I}, {I} } ma neppure { {0},{0}} almeno mi pare.
MA LA COSA INTERESSANTE, del ragionamento fatto(magari erroneamente) è che SEMBRA
ESISTANO INSIEMI DI INSIEMI CHE NON CONTENGONO SE STESSI E CHE PER QUESTA
CARATTERISTICA NON SONO IN REALTA' INSIEMI ( perchè come scritto altrimenti considerando l'insieme che li contiene tutti si cade in un paradosso da cui non vedo via di uscita)

[Bemipefe]

Quindi però mi pare chiaro a questo punto dire che se gli insiemei impropri di $A$ sono sottoinsiemi allora deve essere vero che
$\emptyset in A$ e $A in A$ cioè che $\emptyset \subseteq A$ e $A \subseteq A$

Si potrebbe arginare il problema della ciclicità definendo gli insiemi impropri come insiemi contenenti solo insiemi propri.
ES:
$A = {1, 2 }$con gli insiemi impropri $ A = {1,2 ,\emptyset , A' }$ dove $A' = {1,2}$ cioè è uguale ad $A$ meno gli insiemi impropri essendo $A'$ un insieme impropio che non può contenere insiemi impropri.

...a me pare che fila , ma da qui all'assioma ce ne vuole però.

[ottusangolo]

Ciao!
Mi sembra che ti vuoi complicare la vita, e ti sfugga che il paradosso , se c'è, è altrove.
Per come la vedo A={a,b}={ a,b,0}
Ma A è diverso da {{a,b},{a},{b}}
Invece penso si possa e si debba considerare che A={a,b,a,b,a,b....} intendendo che tutti gli
a sono fra loro indistinguibili ( idem per i b)e dunque un solo elemento.Era questo che ho premesso nel mio primo post dicendo che per convenzione {a,a,a....}={a} (ovvio a, indist. altrimenti sono due ins. con dim. diversa, quindi diversi; ma se interessa solo il numero allora conveniamo di scrivere{1,2,3...})
Forse il problema di moltiplicare all'infinito gli insiemi è un falso problema, come per le classi di equivalenza, niente di male a lavorare invece che su un rappresentante della classe, su tutti gli elementi ma con quale vantaggio ?
Credo sia rischioso porre A={a,b, {a,b}=A'} oltre che inutile poi ti spiegherò il perchè lo penso.
Intanto guarda se questa def va bene:

A contiene se stesso se e solo se l"unione di tutti i sott. di A è un ins. i cui elementi sono tutti elementi di A

[ottusangolo]

Riprendo il discorso sperando di essere finalmente chiaro, altrimenti pace!
Premetto :chiamo l'unione + e l'intersezione *, 0 l'insieme vuoto.
Sia A={a,b,c}
0 appartiene ad A (e ad ogni insieme) perchè * di A con il suo complementare, per def. di complementare, non può che essere vuota e quindi 0 appatiene ad entrambi.
A è contenuto in A ? Si direbbe banalmente di si avendo gli stessi elementi.
Ed in effetti anche usando la def. data (ammesso sia esatta) nel post precedente si ha:
{a}+{b}+{c}+{a,b}+{a,c}+{b,c}+{a,b,c}={a,b,c} i cui elementi sono tutti di A.
PERO' E QUI MI SEMBRA IL VERO PARADOSSO.
Sia I l'ins dei sottoins. di A che hanno un solo elemento
I={ {a},{b},{c}} e chiediamoci se I è contenuto in se stesso.
Procedendo come sopra si vede che + di tutti i sott. di I non appartiene ad I come da attendersi
poichè I, essendo composto da 3 elementi , non può contenere se stesso visto che per def.
I deve contenere solo insiemi che hanno un elemento.
Parrebbe quindi che non sempre un insieme contiene se stesso!
Però che questa conclusione non quadra(ma dov'è l'errore ?) si vede considerando
U(I)=Insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi (e dovrebbero esistere per quanto sopra) Infatti U(I) o contiene se stesso aut non contiene se stesso (a LOGICA!). Ma ambo le hp. sono contraddittorie quindi false.
Poichè se U(I) contiene se stesso allora,per def,è un ins. che non contiene se stesso! Assurdo
ma se U(I) non contiene se stesso allora deve essere contenuto in U(I), che contiene tutti gli ins. di questo tipo. ANCORA ASSURDO!
Dunque non resta che ipotizzare che U(I) non è ben definito! O non esite (ma perchè?? ) o
non è un insieme.E forse siamo arrivati ad una plausibile (non dico esatta!) soluzione al fatto
di considerare come assioma che un insieme deve contenere se stesso.
VA BENISSIMO PORLO COME ASSIOMA ( PER POTER MANEGGIARE LE OPERAZIONI FRA INSIEMI +,*) MA COSI' BISOGNA RINUNCIARE A CONSIDERARE INSIEMI QUELLI DEL TIPO I
DI CUI SOPRA. ( IN ACCORDO CON IL FATTO CHE U(I) NON SAREBBE UN INSIEME IN QUANTO UNIONE DI NON INSIEMI!)

[Bemipefe]

Ripondo ad ottusangolo
Quello che hai detto è interessante. Tuttavia non ho tempo per soffermarmi su questi paradossi. Tuttavia vorrei precisare che.....

Per come la vedo A={a,b}={ a,b,0}

Io credo che non sia vero. Perchè se i due insiemi son uguali allora dovresti poter dire $\emptyset in A $ e $\emptyset in B $ con $A = {a,b}$ e $B ={a,b,\emptyset}$ , e questo non si può dire a priori, in primo luogo perchè dalla rappresentazione si nota che gli insiemi differiscono, anche se di un elemento.

A contiene se stesso se e solo se l"unione di tutti i sott. di A è un ins. i cui elementi sono tutti elementi di A

Questo non risolve il problema per il fatto che l'unione di tutti i sottoinsiemi si A avrà si elementi ${x | x in A AAx}$ e questo accadrà sempre, visto che ogni sottoinsieme che stà nell'unione $X in A$ cioè $X \subseteq A$ ($X$ è un generico insieme appartenente all'unione) . Quindi paradossalmente ci saranno anche $A$ stesso e $\emptyset$, a meno che non si specifica che l'unione è tra tutti i sottoinsiemi propri di $A$.
A questo punto l'unione conterrà solo i sottoinsiemi propri di $A$. Ma non potremo dire che questo insieme sia il sottoinsieme improprio $A$ perchè magari $A$
ha anche elementi che non sono insiemi e che non sono contenuti nell'unione di sottoinsiemi (prorpio o impropri che siano) di $A$. Quindi $A$ è diverso dall'unione di prima.
Ecco perchè ti dicevo di assumere il sottoinsieme improprio di $A$ cioè $A$ stesso come l'insieme $A'$ cioè l'insieme che contiene tutti gli elementi di $A$ tranne
quelli impropri o meglio tranne i sottoinsiemi impropri. Solo così si può fermare il circolo vizioso che porta all ' $\oo$

Quello di $U(I)$ è un paradosso hai ragione ma è proprio per questo che non risolve il problema da cui siamo partiti.....comunque è interessante considerarlo, anche se quì si tratta di non poter includere gli insiemi impropri in $I$, e nello specifico come citi tu il problema stà nell'includere I stesso. Ma come ripeto il problema che più mi premeva era come definire l'insieme improprio $A$ "stesso" quando questo non paradossalmente è incluso in $A$.

Ora però......ho già voltato pagina.....non ho tempo di soffermarmi sugli insiemi impropri.
CIAO!