Insiemi e Logica Matematica

[Bemipefe]

Allora.....

Innanzi tutto vorrei sapere se è possibile scrivere la definizione di uguaglianza tra insiemi, che viene espressa in genere da:

Se $A = B$ allora $A \subsetq B$ $\wedge$ $B \subsetq A$

...anche in questo modo:

Se $A = B$ allora $A \cap B = A$ $\wedge$ $A \cap B = B$ quindi $A = B$


e poi .....ve lo chiedo dopo così nonfacciamo confusione....

[Platone]

Secondo me quella che hai postato e' gia' una possibile definizione.
In alternativa si puo' dire che A=B se per ogni x vale la priprieta' "x appartiene ad A se e soltanto se x appartiene a B".

Platone

[ottusangolo]

Salve! Scusa ma cosa significa qB ?
La seconda non mi convince perchè utilizza il concetto di = che vorrebbe definire.
Concordo con quella di Platone.
Analogamente si potrebbe dire A=B se solo se A contenuto in B e B contenuto in A
ma sull'estenderla ad insiemi infiniti ci andrei cauto.

[Bemipefe]

Il "q" è un errore di battitura.

Se $A = B$ allora $A \subseteq B$ $\wedge$ $B \subseteq A$

Su insiemi infiniti riesce difficile usare $\cap$ ma anche usare $\subseteq$ a mio avviso.
Il fatto dell'intersezione sarebbevalida però su insiemi finiti no?.

E se dicessimo:
Se A = B allora deve valere
$AA x($Se $x in A$ $\leftrightarrow$ $x in B$$)$

Forse sarebbe anche più dimostrabile no?

[Bemipefe]

Altro quesito:

Se in ogni insieme $A$ abbiamo sempre 2 sottoinsiemi impropri noti come $\emptyset$ e $A$ ossia $A = {...., A , \emptyset}$
L'insieme improprio $A in A$ , non vuoto e definito come $A in A = A$ avrà anch'esso all'interno 2 insiemi impropri ?

Il problema nasce perchè se $A in A$ ha anch'esso i due insiemi impropri, allora si genera un ciclo infinito che parte in $A$ e si apre su ogni $A in A$

Il discorso appare quindi contraddittorio, ci deve essere qualche assioma o proprietà che definisca meglio la cosa ma non capisco quale.

Do you can help me ?

[ottusangolo]

O.k.
Mi sembra ottimo!
Una oss. a voler fare i puristi dalla def A contenuto in B toglierei =, basta in senso stretto
altrimenti come definire quando è =? Diventa un po'tautologico.
I prob. sull'infinito potrebbero però essere aggirabili.
Ma non volevi proporre un paradosso o che altro? Ciao

[Bemipefe]

Il "Paradosso" l'ho proposto perchè non sono mai riuscito a dare una risposta a tale quesito.


.... e poi perchè è un Paradosso, dare l'esame di logica 4 volte e non passarlo

[ottusangolo]

Forse ho capito.
Segui il ragionamento perchè può essere bacato ( ero ,non per vantarmi,considerato uno studente molto brillante ma questo al liceo più di 20 anni fa e le mie conoscenze attuali sono di poco superiori e praticamente autodidatte)
Dunque prima un chiarimento;
{a,a,a,a,a} e {a} sono lo stesso insieme? Possiamo dire di si e quindi convenire di scrivere
semplicemente {a} oppure se ci interessa il numero scrivere {1,2,3,4,5}
Sia ora I= {a,b,c,d} (elementi tutti distinti) mi chiedo
{ {a}, {a,b},{a,b,c},{d}} = I ? Direi di no se intendiamo come suoi elementi {}(direi invece
che lo possa essere {{a},{b},{c},{d}}) Ma allora è proprio vero che ogni insieme A contiene se stesso? ( sul vuoto non vedo problemi) Ho molti dubbi! Ad es. con riferimento al nostro I, possiamo definirel'ins. degli ins. con + di un elemento { {a,b},{a,b,c,},B }=B. B appartiene a se stesso,mi sembra ovvio ma se def l'ins. degli ins. con un solo elemento C={ {a},{d}}, C non
appartiene a se stesso(avendo 2 elementi) Quindi sembra esserci una tipologia di insiemi che appartengono a se stessi ed una di ins. che non appartengono a se stessi.
Vedi un po'se ti sono stato di aiuto!




[/i]

[Giusepperoma]

hai centrato il punto...

A e l'insieme vuoto sono SOTTOINSIEMI di A e non elementi di A!

[ottusangolo]

GRAZIE GIUSEPPE
Avere la tua approvazione è sempre confortante.
Però ieri avevo le idee un po' confuse, il sonno ha portato consiglio,spero
Mi sono convinto che dato I={a,b,c} I debba contenere 0 ed I stesso cioè I={a,b,c,I,0} altrimenti non si lavora specie con l'intersezione: infatti è ovvio richiedere I*I=I e I*0=0
Ma { a,b,c,I,{0},{{0},{0}}.......} non è uguale ad I.
E gli insiemi di insiemi, chiamiamoli II, danno seri problemi infatti se il rag. di ieri è corretto vi sono due tipi di II , quelli che contengono se stessi e quelli che non contengono se stessi.
E questi ultimi sono il problema!
Infatti se considero l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi, e lo chiamo U(II)
mi chiedo U(II) contiene se stesso?
Se si allora U(II) non contiene se stesso , assurdo (quindi vale il contrario,cioè U(II) non contiene se stesso)
Ma se U(II) non contiene se stesso allora per def contiene se stesso. Altrettanto assurdo!!
Ora o il ragionamento è bacato (ma non vedo dove)
oppure le ipotesi sono bacate.
Che U(II) non esista? Sembra strano.Però avendolo definito come un insieme...potrebbe non essere un insieme. E questo sarebbe in accordo con l'aver convenuto che un insieme contiene sempre se stesso (e 0 ).
Quindi potrebbero esserci gli insiemi normali I (finiti o infiniti ) e gli insiemi di insiemi II, i quali
se contengono se stessi sono ancora insiemi
ma se non contengono se stessi NON sono più insiemi!
E che sono? BOOOO!!!
Però la cosa mi piace un sacco!
Saluto di nuovo tutti perchè da ora limiterò il più possibile i miei interventi, purtroppo avendo
limitate nozioni ma una sfrenata passione finisco per arrovellarmi tutto il giorno sui vostri interessanti problemi e non vorrei perdere donna e lavoro ( come peraltro già accaduto in passato!)