Sia $N=<a>$. Poichè $[G:N] = 3 = min{k \in NN| k \quad\text{è primo}, \quad k||G|}$ abbiamo che $N$ è normale in $G$. Per i teoremi di Sylow, $N$ è l'unico 7-Sylow di $G$, mentre il numero di 3-Sylow di $G$ può essere 1 o 7. $H = <b>$ è in particolare un 3-Sylow di $G$. Consideriamo ora $1 != g \in G$ generico. Ne segue che $|g| \in {3,7}$; altrimenti, se $|g| = 21$ allora $G$ sarebbe ciclico e non potrebbe valere la relazione: $b^(-1)ab=a^2$. Se $|g| = 3$ ne segue, sempre per Sylow, che è contenuto in un 3-Sylow di $G$, e quindi, ancora per Sylow, che è coniugato con un elemento di $H$, ovvero con $b$ o $b^{-1}$. Se invece $|g| = 7$ allora, analogamente, $g$ è contenuto nell'unico 7-Sylow di $G$, cioè $N$.
Poichè $G = <a><b>$ , ne segue: $a^G = a^H = {\tau_b^k(a) | k \in ZZ}$, dove $\tau_b$ è l'automorfismo di coniugio tramite $b$; inoltre:
$\tau_b(a) = a^2$;
$\tau_b(a^2) = a^4$;
$\tau_b(a^4) = a^8 = a$.
$\tau_b(a^3) = a^6$;
$\tau_b(a^6) = a^12 = a^5$;
$\tau_b(a^5) = a^10 = a^3$.
Dunque le classi di coniugio: $a^G$, $(a^3)^G = (a^{-1})^G$ sono distinte, ed hanno entrambe lunghezza 3.
Poichè $C_G(b) = {g \in G| bg = gb} \geq H$, $a !in C_G(b)$ per la relazione: $b^(-1)ab=a^2$, ne segue: $|C_G(b)| = 3$ e dunque $|b^G| = 7$; analogamente, $|(b^{-1})^G| = 7$.
Usiamo ora la formula delle classi:
$21 = |G| = |Z(G)| + 2\cdot 3 + s\cdot 7$ , dove $s$ è il numero di classi di coniugio di elementi appartenenti ad $H$. Per evidenti ragioni di divisibiltà fra interi, ne segue che $s = 2$.
Perciò le diverse classi di coniugio di $G$ sono:
$a^G$, $(a^{-1})^G$, $b^G$, $(b^{-1})^G$.
Ciao!
