Esercizio sui Gruppi

[motogpdesmo16]

Ciao a tutti. E' il mio primo post qui.
L'esercizio sul quale ho dei dubbi riguarda i Gruppi

Abbiamo G=Z2 x Z4 e la legge di composizione interna *: (a,b)*(c,d)=(a+c,b+d)
la richiesta è: "determinare l'ordine di tutti gli elementi di G". Ho così proceduto:
-ho determinato l'elemento neutro che risulta essere (0,0)
-determinare gli elementi di Z2 e Z4: Z2={0,1} e Z4={0,1,2,3}
-determinare G: G={(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)}
-calcolare: <(0,0)>, <(0,1)> e così via componendo ogni elemento con se stesso seguendo la legge di composizione interna e fino a raggiungere il valore dell'elemento neutro. MI spiego meglio.
Prendiamo il caso <(1,1)>: {(1,1), (0,2)*, (1,3)**, (0,0)} dove
*=(1,1)*(1,1)= (1+1,1+1)=(0,2)
**=(0,2)*(1,1)=(0+1,2+1)=(1,3)
***=(1,3)*(1,1)=(1+1,3+1)=(0,0) raggiungimento dell'elemento neutro e STOP.
-Calcolato l'ordine di ogni elemento di G: nella pratica ho contato quante coppie c'erano per ogni elemento di G. Nell'esempio appena scritto |(1,1)|=4

Sapete dirmi se ho proceduto correttamente o meno???
fra due gg esame di matematica discreta!

[amel]

Sì, direi che va bene, visto che l'ordine di un elemento è uguale all'ordine del sottogruppo ciclico da esso generato. Tieni anche conto ovviamente che l'ordine di un elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo stesso, perciò i possibili valori sono 1 ((0,0) soltanto), 2, 4, 8. Lascio ad altri eventuali aggiunte e/o correzioni alle mie osservazioni...