Algebra: gruppi e sottogruppi

[assoluti]

Ho il seguente esercizio:
Costruire, giustificando tutti i passaggi, il gruppo G = U15 degli elementi invertibili di Z15 e determinarne i sottogruppi.
So che U è composto da tutti gli elementi che sono coprimi con 15.
Quindi U15= (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)
Per la funzione di Eulero abbiamo che phi(15)=8.
Ho trovato i seguenti sottogruppi (oltre a quelli banali):
(1,4), (1,11), (1,14), <2>=(1,2,4,8,)=<8>, <7>=(1,7,4,13)=13
(ovviamente sono tutti con la - sopra al numero)

Le soluzioni di questo esercizio però dicono che c'è anche un altro gruppo, non ciclico ma di Klein, (1,4,11,14).
La mia domanda è: come si arriva a calcolare questo gruppo?!? Come si ricava??
Inoltre, sapendo che phi(15)=8 so che ci sono 8 sottogruppi, quello di Klein sarebbe l'ottavo, giusto?
Grazie a chiunque sappia aiutarmi!
Ivano

[Nidhogg]

E' un gruppo di Klein perchè ogni elemento (si vede nella tavola moltiplicativa) è inverso di se stesso.

[assoluti]

Grazie intanto per la risposta!
Ma come faccio a trovare questo ottavo sottogruppo?
Per gli altri è stato semplice, è bastato vedere ogni elemento di U elevato alla potenza 2, 3, ecc finché non raggiungevo 1. In questo caso come si fa?
Come si costruisce la tavola moltiplicativa?
Grazie e scusa l'ignoranza

[Nidhogg]

Caro Ivano non c'è un metodo standard. Si procede per tentativi purtroppo!

Comunque la tavola moltiplicativa è:

[assoluti]

Quindi è solo un caso che siano tutti gli elementi che compaiono nei sottogruppi di ordine 2? Oppure ciò può aiutarmi? Nei sottogruppi di ordine 2 abbiamo che ogni elemento è inverso di se stesso, es. nel sottogruppo (1,4) 4^2 modulo 15 fa 1.
Grazie ancora per la pazienza