Algebra: reticolo dei sottogruppi

[assoluti]

Ho il seguente problema. Dimostrare che il gruppo U27 degli elementi invertibili di Z27 è ciclico. Determinare il reticolo dei sottogruppi.
So che U27 è composto dagli elementi primi con 27, che sono 18=phi(27).
La soluzione di questo esercizio dice che "si vede subito che <2>=U27" anche se per me non è immediato vederlo ad occhio ma dovrei comunque fare i calcoli. Non capisco perché dice "Dunque U27 ha uno e un solo sottogruppo (ciclico) per ogni divisore dell'ordine." Chi sa spiegarmi questa frase? Poi la soluzione continua dicendo che essendo 18=2*3^2, gli ordini possibili sono 1,2,3,6,9,18.
Non so proprio invece come costuire il reticolo dei sottogruppi. La soluzione dice che

U27
| \
<4> <8>
| / \
<10> <26>
\ /
{1}

Come si arriva a tale risultato?
Grazie ancora a tutti per il supporto