radici polinomio

Messaggioda ficus2002 » 02/03/2006, 01:11

Su un libro ho trovato:

Sia $f(x)=x^m+a_1 x^{m-1}+\cdots+a_m$ un polinomio monico a coefficienti in $ZZ$. Sia $alpha \in CC$ una radice di $f$. Dalla relazione
$0=f(alpha)=alpha^m+a_1 alpha^{m-1}+\cdots+a_m$
si deduce che
$|alpha|\leq max{1,mB}$ con $B=max|a_i|$

A parte il fatto che è sempre $mB geq 1$ (a meno che $f$ sia il polinomio nullo), quindi $max{1,mB}=mB$; come si dimostra $|alpha|\leq max{1,mB}$?
ficus2002
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Messaggioda Thomas » 02/03/2006, 21:51

Esistono stime simili (credo migliori) che ora non ricordo bene anche per i reali... cmq il procedimento credo sia sempre quello...
prendi una sol, supponi per assurdo che questa non verifichi la stima, stima alla peggio cosa fanno le potenze fino alla m-1_esima (ti dovrebbe venire una serie geometrica) e vedi che aggiungendo la potenza m_esima otterresti un numero che non è zero, contro l'ipotesi che tu avessi scelto una radice...
Thomas
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Messaggioda karl » 03/03/2006, 07:57

Vedi se va bene questa.
Sia $alpha $ una radice (reale o complessa) del polinomio.Cominciamo
con l'osservare che se $|alpha|<=1$ allora e' certamente $|alpha|<=mB$
perche' mB per ipotesi e' un intero.Supponiamo allora $|alpha|>1$
Si hanno i seguenti passaggi:
$alpha^m=-a_1alpha^(m-1)-a_2alpha^(m-2)-cdots-a_(m-1)alpha-a_m$
$|alpha|^m<=|a_1||alpha|^(m-1)+|a_2||alpha|^(m-2)+cdots+|a_(m-1)||alpha|+|a_m|$
E a piu' forte ragione:
$|alpha|^m<=B|alpha|^(m-1)+B|alpha|^(m-2)+cdots+B|alpha|+B$
ovvero:
$|alpha|^m<=B(|alpha|^(m-1)+|alpha|^(m-2)+cdots+|alpha|+1)$
e poiche e' $|alpha|>1$ si ha pure:
$|alpha|^m<=B(|alpha|^(m-1)+|alpha|^(m-1)+cdots+|alpha|^(m-1)+|alpha|^(m-1))$
cioe' (essendo i termini in parentesi in numero di m ):
$|alpha|^m<=mB|alpha|^(m-1)$ da cui semplificando si trae appunto:
$|alpha|<=mB$
Archimede
karl
 

Messaggioda ficus2002 » 03/03/2006, 10:27

archimede ha scritto:Vedi se va bene questa...


si, va bene, grazie :wink:
ficus2002
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