Matematica Discreta

Messaggioda fireball » 11/03/2006, 11:30

Vi propongo due esercizi carini che ci ha proposto il nostro prof. di Matematica Discreta.

Dimostrare che

1) $int_0^(+oo) x^n e^(-x) dx = n!
2) $int_0^1 (logx)^n dx = (-1)^n n!
fireball
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Re: Matematica Discreta

Messaggioda DavidHilbert » 11/03/2006, 11:44

fireball ha scritto:Dimostrare che 1) $int_0^(+oo) x^n e^(-x) dx = n!

Sia $I_n = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t x^n e^{-x} dx$, per ogni $n\in\mathbb{N}$. Vale $I_0 = \lim_{t \to +\infty}= [-e^{-x}]_0^{t} = 1 = 0!$. Ammettiamo $I_n = n!$, per un generico $n \in \mathbb{N}$. Integrando per parti, $I_{n+1} = \lim_{t \to +\infty} ([-x^{n+1} e^{-x}]_0^t + (n+1) \int_0^{t} x^n e^{-x} dx) = (n+1) I_n = (n+1)!$. Da qui la tesi, per induzione.
DavidHilbert
 

Re: Matematica Discreta

Messaggioda DavidHilbert » 11/03/2006, 11:50

fireball ha scritto:Dimostrare che 2) $int_0^1 (logx)^n dx = (-1)^n n!

Sia $I_n = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 log^n(x) dx$, per ogni $n \in \mathbb{N}$. Posto allora $\log x = -u$, cosicché $dx = -e^{-u} du$, si trova per sostituzione che $I_n = (-1)^n \lim_{t \to 0^+} \int_0^{-\log t} u^n e^{-u} du = (-1)^n \lim_{k \to +\infty} \int_0^k u^n e^{-u} du = (-1)^n n!$ (vedi problema precedente).
DavidHilbert
 


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