Passa al tema normale
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Matematica Discreta

11/03/2006, 10:30

Vi propongo due esercizi carini che ci ha proposto il nostro prof. di Matematica Discreta.

Dimostrare che

1) $int_0^(+oo) x^n e^(-x) dx = n!
2) $int_0^1 (logx)^n dx = (-1)^n n!

Re: Matematica Discreta

11/03/2006, 10:44

fireball ha scritto:Dimostrare che 1) $int_0^(+oo) x^n e^(-x) dx = n!

Sia $I_n = \lim_{t \to +\infty} \int_0^t x^n e^{-x} dx$, per ogni $n\in\mathbb{N}$. Vale $I_0 = \lim_{t \to +\infty}= [-e^{-x}]_0^{t} = 1 = 0!$. Ammettiamo $I_n = n!$, per un generico $n \in \mathbb{N}$. Integrando per parti, $I_{n+1} = \lim_{t \to +\infty} ([-x^{n+1} e^{-x}]_0^t + (n+1) \int_0^{t} x^n e^{-x} dx) = (n+1) I_n = (n+1)!$. Da qui la tesi, per induzione.

Re: Matematica Discreta

11/03/2006, 10:50

fireball ha scritto:Dimostrare che 2) $int_0^1 (logx)^n dx = (-1)^n n!

Sia $I_n = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 log^n(x) dx$, per ogni $n \in \mathbb{N}$. Posto allora $\log x = -u$, cosicché $dx = -e^{-u} du$, si trova per sostituzione che $I_n = (-1)^n \lim_{t \to 0^+} \int_0^{-\log t} u^n e^{-u} du = (-1)^n \lim_{k \to +\infty} \int_0^k u^n e^{-u} du = (-1)^n n!$ (vedi problema precedente).
Rispondi al messaggio