polinomi

Messaggioda meck » 12/03/2006, 20:10

Chi mi può spiegare in maniera un pò più semplice l'esempio n. 15 (pag. n. 15 e 16) descritto nel file pdf a questo indirizzo:http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/roggero/galois.pdf.
In particolare cosa significa che relazioni nel sistema tra le soluzioni del polinomio (a^2+b^2=0;a^2*b^2=2), sono le uniche che possiamo scrivere usando soltanto coefficenti razionali?
Grazie !!
meck
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Messaggioda Valerio Capraro » 14/03/2006, 00:16

Ho dato un'occhiata all'esempio...
dunque...

lo scopo mi sembra quello di calcolare il gruppo di Galois del polinomio x^4 + 2; personalmente conosco metodi molto più veloci per farlo, ma credo dipenda anche dal "punto di vista in cui si studia la teoria di Galois". Velocemente ti spiego il mio metodo; spero che ci capirai qualcosa. Poi proverò a chiarirti quello che ho letto. Il campo di spezzamento del polinomio considerato su Q è Q[i,rad_4(2)] che ha grado 8 su Q e quindi anche il gruppo di Galois ha ordine 8 (è un teorema generale(sotto ipotesi che qui sono verificate) che l'ordine del gruppo di Galois di un polinomio su un campo eguaglia il grado dell'estensione del suo campo di spezzamento); osserviamo ora che il morfismo che manda i in -i appartiene al gruppo di galois (in quanto fissa Q (ti ricordo che il gruppo di Galois si definisce come il gruppo dei morfismi del campo di spezzamento che fissano il campo base)); analogamente il morfismo che manda sqrt_4(2) in i*sqrt_4(2) vi appartiene. Osserviamo ora che tali due morfismi generano il diedrale D4 (se pensi le radici del polinomio disposte sulla circonferenza complessa di raggio sqrt_4(2), essi inducono la rotazione di 2*pigreco/4 e la riflessione rispetto all'asse x; ed è noto che basta una rotazione di 2*pigreco/n ed una riflessione per generare il diedrae Dn). Ne segue che il gruppo di Galois contiene il diedrale D4. Per l'uguaglianza degl'ordini, esso sarà tale diedrale.

Il metodo seguito dal tuo prof invece consiste nel determinare delle relazioni verificate dalle radici del polinomio e trovare il gruppo di permutazioni delle radici che le fissa (inutile dire che i procedimenti sono equivalenti, ma, lasciamelo affermare, quest'ultimo mi sembra tremendamente più faticoso). Che quelle relazioni siano le uniche a coefficienti razionali si deduce dal fatto che un'ulteriore relazione legherebbe fra loro alfa e gamma; e quindi deve essere, ad esempio dalla prima relazione, alfa = +-sqrt(-gamma^2) che appare subito non essere una relazione a coefficienti razionali in quanto gamma^2 >=0 e quindi arrivano i complessi (troverai una cosa simile anche lavorando sulla seconda)
Note che siano queste relazioni, il procedimento per la determinazione del gruppo di galois è analogo al mio: si osserva che il morfismo che manda alfa in -alfa fissa tali relazioni (e lo pensi come riflessione, pensando sempre le radici sulla circonferenza...) e, analogamente, il morfismo che manda alfa in gamma le fissa (e lo pensi come rotazione). Quindi il gruppo di Galois contiene il diedrale D4. Per mostrare che è esattamente tale diedrale è sufficiente osservare che hai esattamente 8 modi per definire una permutazione delle radici che sono i seguenti; se mandi alfa in alfa, gamma lo puoi mandare solo in gamma e -gamma; idem se mandi alfa in -alfa; analogamente se mandi alfa in gamma, gamma lo puoi mandare solo in alfa o -alfa; idem se mandi alfa in -gamma.

spero di esser stato d'aiuto

ciao, ubermensch
Valerio Capraro
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