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Dimostrare che

$-(a^2+b^2+c^2)+(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2-(a+b+c)^2=0$

e, più in generale, che per ogni $m>n$

$-sum_{i=1}^{m} a^n + sum_{i,j} (a_i + a_j)^n - sum_{i,j,k} (a_i + a_j + a_k)^n+...+(-1)^m (a_1 + a_2 +...+a_m)^n=0$

puff...$((a+b)+c)^2=(a+b)^2+2ac+2bc+c^2+b^2+a^2+c^2-a^2-b^2-c^2$ per la prima parte.

per dimostrare il caso generale bisogna generalizzare $(a+b)^n=sum_{i=0}^n((n),(i))a^(n-i)b^i$ da formula per un binomio a formula per un n-nomio, o sono fuori strada?

No, non serve la formula del binomio di Newton. Suggerimento: induzione su $n$.