A voler fare i pignoli...

Messaggioda Paolo90 » 26/11/2011, 10:30

Per quanto mi riguarda, una funzione $f$ tra due insiemi non vuoti $X$,$Y$ è una relazione (cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano $X times Y$) che gode delle proprietà ovunque definita e funzionale.

La seconda proprietà è quella di Gugo; la prima, che mi pare nessuno abbia ancora citato, corrisponde a chiedere che per ogni $x \in X$ esista $y \in Y$ tale che $(x,y) \in f$.
Insomma, la classica $1/x$ non è una funzione da $RR$ in $RR$, ma è una funzione da $RR setminus {0}$ in $RR$.

:wink:
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda garnak.olegovitc » 26/11/2011, 12:08

salve WiZaRD,

WiZaRd ha scritto:
garnak.olegovitc ha scritto:ma certo, è una particolare relazione, questa a sua volta è sottoinsieme improprio di un prodotto cartesiano tra due insiemi.
Cordiali saluti


Però il sottoinsieme è proprio.


perchè? (http://books.google.it/books?id=pLxq0my ... &q&f=false)
Cordiali saluti
Ultima modifica di garnak.olegovitc il 26/11/2011, 14:49, modificato 1 volta in totale.
\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda G.D. » 26/11/2011, 14:36

@garnak.olegtovic
Dato un insieme \(S\), per me, i suoi sottoinsiemi impropri sono \(\varnothing\) e \(S\). Ecco perché dico che un'applicazione di un insieme \(S\) in un insieme \(T\) è una parte propria del loro prodotto cartesiano.
Anche il Jech da te citato concorda: ho la penultima edizione a portata di mano e a pag. 9 dice:
T. Jech - Set Theory ha scritto:If \(U \subset X\) and \(U \neq X\) then \(U\) is a proper subset of \(X\).
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"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando"
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda garnak.olegovitc » 26/11/2011, 14:53

Salve WiZaRd,

WiZaRd ha scritto:@garnak.olegtovic
Dato un insieme \(S\), per me, i suoi sottoinsiemi impropri sono \(\varnothing\) e \(S\). Ecco perché dico che un'applicazione di un insieme \(S\) in un insieme \(T\) è una parte propria del loro prodotto cartesiano.
Anche il Jech da te citato concorda: ho la penultima edizione a portata di mano e a pag. 9 dice:
T. Jech - Set Theory ha scritto:If \(U \subset X\) and \(U \neq X\) then \(U\) is a proper subset of \(X\).


condivido, infatti la cosa sussiste solo nell'interpretazione della def.
Cordiali saluti
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda lisdap » 26/11/2011, 15:02

WiZaRd ha scritto:Proprio perché rappresenta il secondo elemento della coppia: se pensi alle funzioni alla maniera degli Analisti, la funzione è legge di assegnazione che manda un elemento \(x\) di un certo dominio in un elemento \(y\) di un certo codominio che, essendo l'immagine tramite la funzione \(f\) di \(x\), è allora denotato con \(f\left(x\right)\); allora, con abuso di notazione, se io indico l'intera funzione con \(f\left(x\right)\) sto dicendo che ho una legge di assegnazione (\(f\)) che agisce su degli elementi (le variabili indipendenti \(x\)) dandomi degli altri elementi (le variabili dipendenti \(f\left(x\right)\)) a questi ultimi legati.

Quindi da quel che mi è sembrato di capire, ci sono due definizioni di funzione: una come insieme di particolari coppie ordinate, ed una come una "scatola nera" che trasforma un numero in un altro?
Tuttavia, la cosa mi sembra alquanto incoerente perchè un insieme è una cosa, una scatola nera un'altra e le due cose non mi sembrano uguali.
Alcuni definiscono una funzione come insieme, altri come una legge...
lisdap
 

Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda G.D. » 26/11/2011, 15:24

No.

La sola ed unica definizione di applicazione è quella per la quale dati due insiemi \(S\) e \(T\), un'applicazione di \(S\) in \(T\) è una relazione (o corrispondenza) tra \(S\) e \(T\) tale che per ogni \(x \in S\) esista uno ed un solo \(y \in S\) tale che la coppia ordinata \(\left(x,y\right)\) appartenga alla relazione.

Dopo possiamo discutere diverse cose, tra cui:

• se e quanto sia opportuno includere anche insiemi \(S\) e \(T\) eventualmente vuoti in questa definizione;
• se pensare a questa particolare relazione in un modo globale (cioè definire una corrispondenza come una coppia ordinata del tipo \(\left(S \times T, G\right)\) - o come una terna ordinata \(\left(S,T,G\right)\) ed andarci anche a porre il problema di come definire il concetto di terna ordinata -, chiamare \(G\) grafico ed imporre che la proprietà particolare di cui deve godere una corrispondenza per potersi chiamare applicazione, debba essere una proprietà del grafico e, quindi, dire che l'applicazione è una coppia ordinata \(\left(S \times T, G\right)\) - on una terna ordinata \(\left(S,T,G\right)\) - fatta in un certo modo) o in un modo individuale (e quindi definirla come il solo sottoinsieme \(G\) del prodotto cartesiano \(S \times T\));
• se dare nomi precisi alle singole proprietà di cui deve godere questa relazione (i nomi dati nella definizione proposta da Paolo90) o non darli;
• indicare un'applicazione con la sola lettera \(f\) o con \(f\left(x\right)\) e dove e quando dette notazioni introducono ambiguità o non le introducono;

e varie altre cose che, ad onor del vero, in questo momento non mi vengono in mente.

La definizione cara ai non algebristi (ovvero la legge o la regola che trasforma certi oggetti in certi altri oggetti) in verità non è una definizione: che cos'è una legge che trasforma degli oggetti in altri? È una regola di assegnazione. Bene: cos'è una regola di assegnazione? È una legge che associa elementi ad altri elementi. Bene: siamo tornati al punto di partenza. Dovremmo allora assumere che la legge di assegnazione sia un concetto primitivo, ma nella Teoria degli Insiemi si chiede che sia solo il concetto di insieme ad essere un concetto primitivo.

Tuttavia il concetto astratto di applicazione ed il concetto pratico di applicazione hanno una forte affinità: se è vero che in astratto non esiste alcuna legge di assegnazione e che, in virtù di questo fatto, le coppie ordinate che costituiscono (il grafico di) un'applicazione possono, a rigor di logica, essere anche prese ad minchiam (nell'ambito del rispetto delle più volte citate proprietà di totale definizione e di funzionalità - Paolo90), in pratica accadono due cose molto interessanti:
• l'applicazione stessa, nella sua astrazione, definisce quella che nella pratica chiamiamo legge di assegnazione, giacché andando a guardare le coppie ordinate (del grafico) di un'applicazione posso allora prendere queste stesse coppie ordinate come regola di associazione;
• nelle applicazioni non si alcun interesse a studiare delle applicazioni ad minchiam, ma si ha interesse a studiare applicazioni in cui tra la prima e la seconda coordinata di ciascuna coppia ordinata esiste una qualche connessione di tipo matematico, esprimibile attraverso un predicato aperto \(p(x,y)\), eventualmente riconducibile ad una espressione matematica, che viene dunque ad essere la nostra legge di assegnazione.
Ultima modifica di G.D. il 26/11/2011, 15:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda Martino » 26/11/2011, 15:28

Lisdap, tutto in matematica è un insieme. Le relazioni sono insiemi, le funzioni sono insiemi, le operazioni sono insiemi, i numeri sono insiemi, e così via.

Ma quando si usa una cosa ci si dimentica che cos'è.

Per lo stesso motivo uno che si chiama Mario Gregorio Alfonso Quarto Senior io lo chiamo semplicemente Mario. So che il suo nome è molto più complicato di come lo chiamo io, ma sono sicuro che se gli dico "Mario" lui si gira, e questo mi basta. Sarebbe inverosimile che il fratello di questo Mario venisse a rimproverarmi perché per chiamarlo non ho usato il suo nome proprio dall'inizio alla fine.

Se ci si riferisse ogni volta alle funzioni usando il formalismo corretto la matematica diventerebbe illeggibile. Una volta che sappiamo cosa sono gli oggetti, per richiamarli è sufficiente usare una convenzione di scrittura possibilmente condivisa.

In altre parole quando si dice che una funzione è una "legge" è per non dover dire con la massima esattezza la definizione formale di funzione, e fermarsi all'idea intuitiva. Questo potrà forse apparirti blasfemo, ma ti assicuro che a chi inizia a studiare matematica è molto più formativo e didatticamente valido dare l'idea intuitiva. O meglio, magari si può accennare al fatto che esiste una definizione formale, ma è meglio suggerire caldamente allo studente di fermarsi all'idea intuitiva, all'inizio. Questo è quello che è stato sempre fatto per esempio coi numeri: per molto tempo non esistevano definizioni soddisfacenti dei numeri, eppure le persone li usavano correttamente. In matematica tipicamente i processi avvengono per generalizzazione successiva, ed è quindi sbagliato tentare di generalizzare tutto subito.

Poi, non è proprio vero che tutto in matematica è un insieme, per esempio la "famiglia" di tutti gli insiemi non è un insieme, ok, ma vorrei evitare almeno per ora le sottigliezze fondazionali.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda lisdap » 26/11/2011, 16:16

Mah, secondo me questa definizione, così come il simbolismo, va rivisto in quanto è troppo confusionario..
lisdap
 

Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda G.D. » 26/11/2011, 18:11

Quale definizione? Quella operativa o quella astratta?

Ad ogni modo la vedo difficile: sono secoli che si usano queste definizioni e queste notazioni.
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Re: come si indica una funzione e sua definizione

Messaggioda garnak.olegovitc » 26/11/2011, 18:14

\(2592=2^59^2\)
\( 3435=3^3+4^4+3^3+5^5\)
\( [ (R|R^{-1}) \; \cap \; Di\;] \cup [(R^{-1}|R) \; \cap \; Di\;] \cup [\;\sim R \;\dagger \emptyset\;] \cup [\;\emptyset \; \dagger \sim R \;] = \emptyset \)
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