da G.D. » 26/11/2011, 15:24
No.
La sola ed unica definizione di applicazione è quella per la quale dati due insiemi \(S\) e \(T\), un'applicazione di \(S\) in \(T\) è una relazione (o corrispondenza) tra \(S\) e \(T\) tale che per ogni \(x \in S\) esista uno ed un solo \(y \in S\) tale che la coppia ordinata \(\left(x,y\right)\) appartenga alla relazione.
Dopo possiamo discutere diverse cose, tra cui:
• se e quanto sia opportuno includere anche insiemi \(S\) e \(T\) eventualmente vuoti in questa definizione;
• se pensare a questa particolare relazione in un modo globale (cioè definire una corrispondenza come una coppia ordinata del tipo \(\left(S \times T, G\right)\) - o come una terna ordinata \(\left(S,T,G\right)\) ed andarci anche a porre il problema di come definire il concetto di terna ordinata -, chiamare \(G\) grafico ed imporre che la proprietà particolare di cui deve godere una corrispondenza per potersi chiamare applicazione, debba essere una proprietà del grafico e, quindi, dire che l'applicazione è una coppia ordinata \(\left(S \times T, G\right)\) - on una terna ordinata \(\left(S,T,G\right)\) - fatta in un certo modo) o in un modo individuale (e quindi definirla come il solo sottoinsieme \(G\) del prodotto cartesiano \(S \times T\));
• se dare nomi precisi alle singole proprietà di cui deve godere questa relazione (i nomi dati nella definizione proposta da Paolo90) o non darli;
• indicare un'applicazione con la sola lettera \(f\) o con \(f\left(x\right)\) e dove e quando dette notazioni introducono ambiguità o non le introducono;
e varie altre cose che, ad onor del vero, in questo momento non mi vengono in mente.
La definizione cara ai non algebristi (ovvero la legge o la regola che trasforma certi oggetti in certi altri oggetti) in verità non è una definizione: che cos'è una legge che trasforma degli oggetti in altri? È una regola di assegnazione. Bene: cos'è una regola di assegnazione? È una legge che associa elementi ad altri elementi. Bene: siamo tornati al punto di partenza. Dovremmo allora assumere che la legge di assegnazione sia un concetto primitivo, ma nella Teoria degli Insiemi si chiede che sia solo il concetto di insieme ad essere un concetto primitivo.
Tuttavia il concetto astratto di applicazione ed il concetto pratico di applicazione hanno una forte affinità: se è vero che in astratto non esiste alcuna legge di assegnazione e che, in virtù di questo fatto, le coppie ordinate che costituiscono (il grafico di) un'applicazione possono, a rigor di logica, essere anche prese ad minchiam (nell'ambito del rispetto delle più volte citate proprietà di totale definizione e di funzionalità - Paolo90), in pratica accadono due cose molto interessanti:
• l'applicazione stessa, nella sua astrazione, definisce quella che nella pratica chiamiamo legge di assegnazione, giacché andando a guardare le coppie ordinate (del grafico) di un'applicazione posso allora prendere queste stesse coppie ordinate come regola di associazione;
• nelle applicazioni non si alcun interesse a studiare delle applicazioni ad minchiam, ma si ha interesse a studiare applicazioni in cui tra la prima e la seconda coordinata di ciascuna coppia ordinata esiste una qualche connessione di tipo matematico, esprimibile attraverso un predicato aperto \(p(x,y)\), eventualmente riconducibile ad una espressione matematica, che viene dunque ad essere la nostra legge di assegnazione.
Ultima modifica di
G.D. il 26/11/2011, 15:40, modificato 1 volta in totale.
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"La morte sorride a tutti: un uomo non può fare altro che sorriderle di rimando"
"Eliminato l'impossibile, ciò che resta, per improbabile che sia, deve essere la verità"
"No! Provare no! Fare. O non fare. Non c'è provare!"