come si indica una funzione e sua definizione

[lisdap]

Allora, innanzitutto ringrazio garnak.olegovitc che ha postato quell'articolo tratto da wikipedia inglese e che è stato molto interessante.
Allora, da quest'articolo si legge che una precisa definizione di funzione, che peraltro è stata già citata qui sul forum, è:
"Una definizione precisa di funzione è quella di una terna ordinata $(X,Y,f)$, dove $X$ è il dominio, $Y$ il codominio ed $f$ (wikipedia italiano considera l'insieme $f$ come funzione) è un insieme di coppie ordinate $(x,y)$. In ognuna delle coppie ordinate $(x,y)$ il primo elemento proviene dal dominio, il secondo dal codominio, ed una condizione necessaria affinchè la terna $(X,Y,Z)$ sia una funzione è che, prese due qualsiasi coppie ordinate tali che i loro secondi elementi sono diversi, anche i primi dovranno esserlo."
Bene, fin qui va tutto bene e non ho nulla da dire, in quanto tale definizione mi sembra davvero ben fatta e completa.
Inoltre, presa una qualsiasi coppia ordinata appartenente all'insieme $F$, il secondo elemento della coppia, che chiamiamo $y$ è detto "immagine del primo elemento", che chiamiamo $x$; similmente, il primo elemento $x$ della coppia che ha per immagine l'elemento $y$ è detto sua controimmagine.
Poi, da wikipedia italiano il discorso prosegue dicendo che il secondo elemento della generica coppia $(x,y) in f$ si denota tradizionalmente con il simbolo $f(x)$ e dunque si può scrivere $y=f(x)$: questo modo di dire risulta utile, in quanto, anzichè dire che la coppia $(2,3) in f$ posso semplicemente dire $3=f(2)$.
Tutto bene. A questo punto mi ricollego a quanto detto molte volte da Wizard, e cioè al fatto che, basandoci esclusivamente su queste definizioni, per creare una funzione non ho bisogno di una proposizione aperta, in quanto posso benissimo definire da me un insieme di coppie ordinate che soddisfano le definizioni date sopra. Per esempio, potrei benissimo definire la funzione $({2,3},{5,6},{(2,5),(3,6)})$, anche senza "appoggiarmi" a nessuna proposizione aperta. D'altro canto, però, nulla mi vieta di definire una funzione non elencando "ad minchiam" le coppie dell'insieme $f$, ma per esempio, prendendo esclusivamente le coppie che soddisfano una certa proposizione aperta, per esempio un'equazione matematica ($y=3+5x$, oppure $z=3x+7^y$ ecc...). Naturalmente, dal punto di vista pratico, come già sottolineato da Wizard, sono interessanti solo quelle funzioni definite da certe proposizioni aperte, e non "ad minchiam".
Quindi, ricapitolando, da quello che ci siamo detti LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI FUNZIONE è quella di tripletta ordinata $(X,Y,f)$, dove l'insieme $X$ è detto di definizione, $Y$ è il codominio ed $f$ è un insieme di coppie ordinate, dove il primo elemento della coppia proviene da $X$ ed il secondo da $Y$.

Enuncio ora la definizione formale data da wikipedia in italiano, che è sostanzialmente uguale a quella sopra:
"Dati gli insiemi $X$ ed $Y$ non vuoti, si chiama funzione (o applicazione, o mappa, o trasformazione) da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X x Y$ tale che per ogni $x in X$, esiste uno ed un solo elemento $y in Y$ tale che $(x,y) in f$.
Il fatto che $f$ è una funzione da $X$ ad $Y$ si indica con il simbolo $X->Y$ mentre, presa la coppia ordinata $(x,y) in f$ si dice che $x->y$ o anche, essendo $y=f(x)$, che $x->f(x)$.
Sostanzialmente ciò coincide con quello detto prima.

Ora, dai vari testi che ho a disposizione, il concetto di funzione viene liquidato con due righe da questa definizione:
"Dati due insiemi $A$ e $B$, una funzione $f$ di dominio $A$ a valori in $B$ è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$.
Scriveremo: $f: A->B$. La scrittura $f:x->f(x)$ indica come la funzione $f$ agisce sugli elementi. Il pagani-salsa-bramanti aggiunge poi che il simbolo $f(x)$ indica il valore che la funzione $f$ associa ad $x$, E NON VA CONFUSO COL SIMBOLO $f$, che denota la funzione stessa." Nonostante ciò, gli stessi autori indicano la funzione con $f(x)$.
Ora, appare evidente come tale definizione lasci spazio ad un sacco di dubbi, almeno per me:
1) quale sarebbe questa "legge" che compare in tale definizione? E' l'equazione di cui ho parlato nella definizione rigorosa o altro?
2) riferendomi alla definizione rigorosa, considero la funzione $({2,3},{5,6},{(2,5),(3,6)})$. Quale sarebbe la legge di cui parla la seconda definizione? A me sinceramente sembra un fantasma...;
Grazie mille per la collaborazione a questo post:-)

[gugo82]

Mah, secondo me questa definizione, così come il simbolismo, va rivisto in quanto è troppo confusionario..

Opinione maturata dopo anni di studio di Teoria degli Insiemi, suppongo...

Ti prego, non addentrarti in queste cose, non hai ancora gli strumenti per farlo.

Quindi, ricapitolando, da quello che ci siamo detti LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI FUNZIONE è quella di tripletta ordinata $(X,Y,f)$, dove l'insieme $X$ è detto di definizione, $Y$ è il codominio ed $f$ è un insieme di coppie ordinate, dove il primo elemento della coppia proviene da $X$ ed il secondo da $Y$.

No, questa non è una definizione rigorosa.
Piuttosto, è una definizione utile.

Enuncio ora la definizione formale data da wikipedia in italiano, che è sostanzialmente uguale a quella sopra:
"Dati gli insiemi $X$ ed $Y$ non vuoti, si chiama funzione (o applicazione, o mappa, o trasformazione) da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X x Y$ tale che per ogni $x in X$, esiste uno ed un solo elemento $y in Y$ tale che $(x,y) in f$.
Il fatto che $f$ è una funzione da $X$ ad $Y$ si indica con il simbolo $X->Y$ mentre, presa la coppia ordinata $(x,y) in f$ si dice che $x->y$ o anche, essendo $y=f(x)$, che $x->f(x)$.
Sostanzialmente ciò coincide con quello detto prima.

Ora, dai vari testi che ho a disposizione, il concetto di funzione viene liquidato con due righe da questa definizione:
"Dati due insiemi $A$ e $B$, una funzione $f$ di dominio $A$ a valori in $B$ è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$.
Scriveremo: $f: A->B$. La scrittura $f:x->f(x)$ indica come la funzione $f$ agisce sugli elementi. Il pagani-salsa-bramanti aggiunge poi che il simbolo $f(x)$ indica il valore che la funzione $f$ associa ad $x$, E NON VA CONFUSO COL SIMBOLO $f$, che denota la funzione stessa." Nonostante ciò, gli stessi autori indicano la funzione con $f(x)$.
Ora. appare evidente come tale definizione lascia un sacco di dubbi:
1) quale sarebbe questa "legge" che compare in tale definizione? E' l'equazione di cui ho parlato nella definizione rigorosa o altro?
2) riferendomi alla definizione rigorosa, considero la funzione $({2,3},{5,6},{(2,5),(3,6)})$. Quale sarebbe la legge di cui parla la seconda definizione? A me sinceramente sembra un fantasma...;
Grazie mille per la collaborazione a questo post:-)

Quella della domanda 2 non è una funzione.

Per il resto, l'uso di \(f(x)\) per denotare la funzione \(f\) è abbastanza diffuso (anche se non corretto); quel simbolo serve a mettere in evidenza il nome della variabile da cui \(f\) dipende.
Ad esempio, se uno vuole dire che "la funzione di due variabili \((x,y)\) dipende in realtà dalla sola prima variabile \(x\)" può usare la scrittura sintetica \(f(x,y)=\phi(x)\).

Come al solito, ci sono contesti in cui la correttezza formale può (e deve) cedere il passo alla comodità della notazione ed alla semplicità nell'espressione dei concetti.

[lisdap]

Mah, secondo me questa definizione, così come il simbolismo, va rivisto in quanto è troppo confusionario..

Opinione maturata dopo anni di studio di Teoria degli Insiemi, suppongo...

Ti prego, non addentrarti in queste cose, non hai ancora gli strumenti per farlo.

Quindi, ricapitolando, da quello che ci siamo detti LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI FUNZIONE è quella di tripletta ordinata $(X,Y,f)$, dove l'insieme $X$ è detto di definizione, $Y$ è il codominio ed $f$ è un insieme di coppie ordinate, dove il primo elemento della coppia proviene da $X$ ed il secondo da $Y$.

No, questa non è una definizione rigorosa.
Piuttosto, è una definizione utile.

Enuncio ora la definizione formale data da wikipedia in italiano, che è sostanzialmente uguale a quella sopra:
"Dati gli insiemi $X$ ed $Y$ non vuoti, si chiama funzione (o applicazione, o mappa, o trasformazione) da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X x Y$ tale che per ogni $x in X$, esiste uno ed un solo elemento $y in Y$ tale che $(x,y) in f$.
Il fatto che $f$ è una funzione da $X$ ad $Y$ si indica con il simbolo $X->Y$ mentre, presa la coppia ordinata $(x,y) in f$ si dice che $x->y$ o anche, essendo $y=f(x)$, che $x->f(x)$.
Sostanzialmente ciò coincide con quello detto prima.

Ora, dai vari testi che ho a disposizione, il concetto di funzione viene liquidato con due righe da questa definizione:
"Dati due insiemi $A$ e $B$, una funzione $f$ di dominio $A$ a valori in $B$ è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$.
Scriveremo: $f: A->B$. La scrittura $f:x->f(x)$ indica come la funzione $f$ agisce sugli elementi. Il pagani-salsa-bramanti aggiunge poi che il simbolo $f(x)$ indica il valore che la funzione $f$ associa ad $x$, E NON VA CONFUSO COL SIMBOLO $f$, che denota la funzione stessa." Nonostante ciò, gli stessi autori indicano la funzione con $f(x)$.
Ora. appare evidente come tale definizione lascia un sacco di dubbi:
1) quale sarebbe questa "legge" che compare in tale definizione? E' l'equazione di cui ho parlato nella definizione rigorosa o altro?
2) riferendomi alla definizione rigorosa, considero la funzione $({2,3},{5,6},{(2,5),(3,6)})$. Quale sarebbe la legge di cui parla la seconda definizione? A me sinceramente sembra un fantasma...;
Grazie mille per la collaborazione a questo post:-)

Quella della domanda 2 non è una funzione.

Per il resto, l'uso di \(f(x)\) per denotare la funzione \(f\) è abbastanza diffuso (anche se non corretto); quel simbolo serve a mettere in evidenza il nome della variabile da cui \(f\) dipende.
Ad esempio, se uno vuole dire che "la funzione di due variabili \((x,y)\) dipende in realtà dalla sola prima variabile \(x\)" può usare la scrittura sintetica \(f(x,y)=\phi(x)\).

Come al solito, ci sono contesti in cui la correttezza formale può (e deve) cedere il passo alla comodità della notazione ed alla semplicità nell'espressione dei concetti.

Riporto innanzitutto dei passi tratti da wikipedia in inglese.
1) A common way to define a function is as the triple (domain, codomain, graph), that is as the input set, the possible outputs and the mapping for each input to its output;
2) One precise definition of a function is an ordered triple of sets, written (X, Y, F), where X is the domain, Y is the codomain, and F is a set of ordered pairs (a, b). In each of the ordered pairs, the first element a is from the domain, the second element b is from the codomain, and a necessary condition is that every element in the domain is the first element in exactly one ordered pair.

Gugo, stando alla definizione di funzione come tripletta ordinata non capisco perchè quella che ho scritto non è una funzione allora.

[gugo82]

@lidsdap: Semplicemente non avevo visto le parentesi al posto giusto... Avevo letto \(\{ (2,3), (5,6), (2,5), (3,6)\}\) e pensavo fosse una relazione (che non è una funzione, perché ci sono due coppie ordinate con prima coordinata \(2\)).
Scusa per l'incomprensione.

[lisdap]

@lidsdap: Semplicemente non avevo visto le parentesi al posto giusto... Avevo letto \(\{ (2,3), (5,6), (2,5), (3,6)\}\) e pensavo fosse una relazione (che non è una funzione, perché ci sono due coppie ordinate con prima coordinata \(2\)).
Scusa per l'incomprensione.

Ok

[G.D.]

Veramente il definire un'applicazione come una terna non è una cosa molto precisa perché c'è il problema di definire una terna.

[lisdap]

• nelle applicazioni non si alcun interesse a studiare delle applicazioni ad minchiam, ma si ha interesse a studiare applicazioni in cui tra la prima e la seconda coordinata di ciascuna coppia ordinata esiste una qualche connessione di tipo matematico, esprimibile attraverso un predicato aperto \(p(x,y)\), eventualmente riconducibile ad una espressione matematica, che viene dunque ad essere la nostra legge di assegnazione.

Quindi, diciamo che ci sono due modi per definire il concetto di funzione:
1) Modo rigoroso: una funzione è un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano ecc...
Notiamo che non è richiesta l'esistenza di una proposizione aperta $p(x,y)$ che mi permette di stabilire quali coppie appartengono a $f$, tant'è che io posso mettere nell'insieme $f$ coppie assolutamente arbitrarie, ma che ovviamente rispettino certe condizioni;
2) Definizione poco rigorosa. Tale definizione è quella secondo la quale una funzione (che è sempre un sottoinsieme di coppie ordinate) è definita da tre oggetti matematici:
un dominio, un codominio e una "legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio" (e che quindi mi permette di stabilire quali coppie ordinate appartengono al sottoinsieme che ho chiamato funzione).
Notiamo dunque che, qualora non esista tale legge (legge che sarebbe la famosa "scatola nera"), appellandomi solo alla definizione 2) non ha senso parlare di funzione.

La legge di cui si parla nella definizione 2) è un'equazione matematica giusto?

Dunque, ricapitolando, l'unica differenza tra le due definizioni è che nella prima non si richiede che esista necessariamente tale legge, mentre nella seconda il concetto di funzione "vive" grazie all'esistenza di tale legge: qualora quest'ultima manchi, non avrebbe senso parlare di funzione.

Detto questo faccio un'altra domanda: quando si parla di funzioni, è sbagliato dire: "considero la funzione $y=4x$, infatti questa è solo la legge che mi permette di definire la funzione, MA NON E' LA FUNZIONE giusto?

P.S: faccio una piccola aggiunta, in base a quanto detto in giro nel post. Siccome, sulla base della definizione 2) ( quindi nelle scienze applicate), si deduce che ha senso parlare di funzione solo se è ben specificata la legge di assegnazione (l'equazione matematica), possiamo lecitamente "confondere" la funzione vera e propria, cioè il sottoinsieme del prodotto cartesiano, con la legge che la definisce. Quindi, sulla base di queste considerazioni, è corretto dire: "considero la funzione $y=7^x$, così come è corretto dare la definizione
3) "Dati due insiemi $A$, $B$ qualsiasi, una funzione $f$ di dominio $A$ a valori in $B$ (o anche "di codominio $B$") è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di $A$ associa uno e un solo elemento di $B$.
Siamo d'accordo?

Grazie.

[G.D.]

Premessa: questo mio intervento non vuole assolutamente essere una "lavata di capo". Non ho né l'autorità, né l'esperienza né le conoscenze per farlo.

Ho seguito gran parte dei tuoi topic e devo dire che rilevo sempre lo stesso errore: mosso dall'ansia di avere a disposizione degli strumenti matematici definiti in modo rigoroso, ti addentri nel non facile campo dei fondamenti senza avere una conoscenza di base che ti permetta di capire il perché ed il come nasca il problema dei fondamenti, arrivando al risultato ultimo di non servirti dei fondamenti della Matematica per strutturare rigorosamente lo stesso edificio matematico quanto, piuttosto, arrivando al punto di costruire l'edificio matematico utilizzando lo stile e gli schemi che vengono usati per indagare dal di fuori il mondo matematico stesso nell'ambito del problema dei fondamenti.

Cerco di essere più chiaro.

La Teoria degli Insiemi può essere attaccata in due modi:
• il primo modo prevede di attaccarla da un punto di vista strettamente logico inserendola come una teoria da sviluppare con una teoria logica complessa e completa rendendola di fatto una teoria logica sulla base della quale edificare in un linguaggio unitario l'intera Matematica;
• il secondo prevede di attaccarla da un punto di vista matematico servendosi della logica formale per formalizzare questa teoria di modo da renderla coerente, non contraddittoria e poterla quindi utilizzare per costruire una Matematica che si fondi interamente su un unico concetto: quello di insieme.

Tu usi i metodi del primo per portare avanti il secondo. Mi spiego.

Quando parli delle applicazioni poni il problema della proposizione aperta \(p\left( x,y \right)\) chiedendo se debba o meno esistere a priori per selezionare le coppie ordinate; quando parlavamo della relazione d'ordine facevi la stessa cosa. Tu parti dalla logica per fare la Matematica; vuoi fare la Matematica usando come strumento fondazionale la logica, non la Teoria degli Insiemi; quando hai da attaccare un problema di Teoria degli Insiemi parti col chiederti se esista o debba esistere una certa proposizione aperta che ti permetta di fare una certa cosa. Quello che tu fai è, per certi aspetti, una Meta-Matematica: attenzione, non sto dicendo che fai Met-Matematica, la Meta-Matematica esiste, è una cosa seria e complicata, molto complicata, tu fai una specie di Meta-Matematica.

La Matematica, anche nell'analisi dei Fondamenti, usa la logica, non sviluppa sé stessa all'interno della logica. Tu ti ostini a porre come principio di tutto l'esistenza di una certa proposizione aperta: le corrispondenze per te sono proposizioni aperte, le applicazioni sono proposizioni aperte, gli ordini portano a delle proposizioni aperte... Io mi chiedo: perché?

Vogliamo fare una Matematica con le proposizioni aperte? Bene. Allora stabiliamo un alfabeto, dei simboli logici, dei simboli funzionali, dei simboli per variabili, delle regole di inferenza, delle regole di formazione, degli schemi di separazione e tutto il seguito, quindi partiamo in quarta per costruire questa Matematica.

Staccati dalla necessità che debba esserci una proposizione aperta scritta in una qualche specie di linguaggio naturale che ti permetta di costruire gli insiemi, le relazioni, le applicazioni, gli ordini...

Tornando nel merito delle ultime domande: la legge di assegnazione non deve essere per forza una equazione matematica. Dati \(S=\{a,b,c\}\) e \(T=\{1,2,3\}\) la parte \(f=\{\left(a,1\right),\left(b,2\right),\left(c,3\right)\}\) di \(S \times T\) è a tutti gli effetti un'applicazione di \(S\) in \(T\) e non c'è alcuna equazione matematica che leghi gli elementi di \(S\) a quelli di \(T\). Tu mi parli di scienze applicate ed io penso all'analisi statistica di determinati fenomeni: tu credi che chi si occupa di questo abbia a propri un'equazione matematica? E la domanda la faccio perché tu dici che si deduce che ha senso parlare di funzione solo se è ben specificata la legge di assegnazione (l'equazione matematica): se questa tua affermazione fosse corretta allora o non dovremmo parlare di funzioni in statistica oppure dovremmo convenire che l'analisi statistica è tutta una pagliacciata tanto l'equazione l'abbiamo già prima.

[lisdap]

E la domanda la faccio perché tu dici che si deduce che ha senso parlare di funzione solo se è ben specificata la legge di assegnazione (l'equazione matematica): se questa tua affermazione fosse corretta allora o non dovremmo parlare di funzioni in statistica oppure dovremmo convenire che l'analisi statistica è tutta una pagliacciata tanto l'equazione l'abbiamo già prima.

Ciao Wizard, ho l'impressione che abbiamo un pò tutti perso di vista il tema di questa discussione.
La domanda che mi ha spinto ad aprire questo post è stata:
Come è possibile che esistano due definizioni così diverse di uno stesso concetto, una che definisce una funzione come una legge di assegnazione ed una come un insieme? Le due cose, ad una prima analisi, non sono affatto equivalenti.
Io mi baso sulle informazioni che raccolgo dalle varie fonti dalle quali studio, e, sul pagani salsa bramanti leggo questa definizione di funzione:
1) "Dati due insiemi A, B qualsiasi, una funzione f di dominio A a valori in B (o anche "di codominio B") è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.
La definizione parla chiaro: una funzione è una qualsiasi LEGGE.
Poi, da altre parti, leggo che la funzione è definita come un INSIEME.
Ora, legge ed insieme sono due cose nettamente diverse. Punto.
Quindi due sono le cose:
O la definizione 1) data dal libro è sbagliata (il che è assurdo visto che un libro non dice cose errate), o le due definizioni sono equivalenti.
Il buon senso mi fa pensare che queste definizioni devono essere equivalenti, dal momento che chi le ha coniate sicuramente non era uno stupido. Inoltre, se come hai detto tu è da secoli che si usano queste notazioni, non posso ritenere che tali definizioni siano incoerenti e misteriose.
Il mio obiettivo è dunque stato quello di capire perchè queste due definizioni sono equivalenti.
Ciao.

[G.D.]

Le due definizioni non sono equivalenti semplicemente perché quella che fa uso del termine legge non è una definizione (e lo abbiamo detto più o meno tutti nei nostri interventi).

Vediamo se riesco a farmi capire.

Definizione di parallelogramma. Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso con i lati a due a due paralleli.

Per dare questa definizione mi occorrono (oltre alla lingua italiana e la sua grammatica) i concetti di:
• quadrilatero;
• figura convessa;
• lato;
• parallelismo.

Prendiamo ora il concetto di figura convessa.

Definizione di figura convessa. Una figura piana si dice convessa se comunque presi due suoi punti il segmento che li congiunge appartiene interamente alla figura.

Per dare questa definizione mi occorrono i seguenti concetti:
• appartenenza;
• figura piana;
• punto;
• segmento.

Se il concetto di segmento e di figura piana sono definibili a partire dal concetto di punto, il concetto di punto lo definisco a partire da cosa? Da niente! Il concetto di punto è primitivo.

Tornando ora al concetto di applicazione, se mi viene detto che un'applicazione è una legge che fa una certa cosa, allora per poter definire il concetto di applicazione mi occorre (oltre al concetto di insieme) anche il concetto di legge. Ma qual è la definizione di legge? Non c'è. Non esiste. Allora dovremmo assumere come primitivo il concetto di legge, ma nella teoria degli insiemi (sia essa assiomatica o ingenua) gli unici concetti primitivi sono:
• il concetto di insieme;
• il concetto di appartenenza di un certo oggetto ad un dato insieme.

Ergo la definizione di applicazione che fa uso del concetto di legge semplicemente non è una definizione. Questa "definizione" è, per dirla con i fisici, una definizione operativa del concetto di funzione che viene fuori nel momento in cui si dicono sul concetto di applicazione tutte le cose che sono state a più riprese dette nei vari interventi dei vari utenti.

E allora perché viene data prima la "definizione operativa" e poi la definizione vera? Perché per poter cogliere il senso della vera definizione serve una certa familiarità con la capacità di astrarre i concetti, con la capacità di vedere i concetti scollegati dalle applicazioni e dai loro modelli nel mondo reale; si fornisce prima la "definizione operativa" perché le funzioni nascono prima operativamente e poi successivamente diventano concetti astratti; perché nelle discipline diverse dall'Algebra si ha poco interesse nel vedere le applicazioni per quella che è la loro natura e si ha più interesse nel vedere le applicazioni come si comportano.

A questo va poi aggiunto il fatto che ogni volta che tu formalizzi, parti dalla preposizione aperta \(p\left( x,y \right)\): questo denota che usi la logica formale nel modo sbagliato, donde il mio precedente intervento.