come si indica una funzione e sua definizione

Salve, volevo discutere non tanto del concetto di funzione, quanto piuttosto del modo con il quale si è soliti indicare una funzione, in quanto ho l'impressione che ci sia un pò di confusione a riguardo.
La definizione rigorosa di funzione che ho letto in giro, e che preferisco, è la seguente:
"Si definisce funzione $f$ un insieme di coppie ordinate $(x,y)$ di oggetti in cui non ve ne siano mai due con lo stesso primo elemento". Quindi, stando a questa definizione ed a quanto si legge da wikipedia, per funzione SI INTENDE UN INSIEME DI ELEMENTI CHE GODE DI CERTE PROPRIETA'.
Innanzitutto mi rivolgo a voi matematici chiedendovi: siete d'accordo con questa definizione, cioè siete d'accordo sul fatto di chiamare funzione un insieme di coppie ordinate?

P.S: mi sto riferendo in particolare a quello che c'è scritto qui.
http://unina.stidue.net/Analisi%20Matem ... izione.pdf

[gugo82]

Visto che parli da tempo di relazioni, dovresti sapere che (formalmente) una funzione \(f\) tra due insiemi non vuoti \(X\) e \(Y\) è una particolare relazione tra \(X\) e \(Y\); per essere precisi è una relazione (i.e. un sottoinsieme di \(X\times Y\)) che gode della seguente proprietà:
\[
\forall (x_1,y_1),(x_2, y_2)\in f,\quad x_1=x_2 \ \Rightarrow \ y_1=y_2 \; .
\]
Questa definizione (seppure formalmente ineccepibile) ha due grosse pecche: 1 è totalmente inutile a chi non sappia nulla di Algebra Astratta e 2 non è applicabile in alcuni interessantissimi "casi concreti".
Mentre il punto 1 è evidente (se uno non ha mai sentito parlare di relazioni, la definizione di funzione non la può capire), il punto 2 rimane oscuro finché non si affronta l'Analisi Complessa...
Ad esempio, è comune, in Analisi Complessa, avere a che fare con "funzioni" che ad uno stesso punto assegnano più valori diversi: tali "funzioni" si chiamano funzioni multivoche o polidrome e si presentano necessariamente quando si elabora la teoria della variabile complessa (nel senso che esse non possono "essere evitate"), pur non essendo funzioni del tipo definito sopra.
Tanto per fare un esempio, il logaritmo e la radice sono funzioni polidrome nel campo complesso \(\mathbb{C}\).

Per ovviare a queste due pecche, si definisce di solito una funzione come una tripletta ordinata \((X,Y,f(x))\) costituita da due insiemi non vuoti \(X\) (il dominio) ed \(Y\) (il codominio) e da una legge di assegnazione \(x\mapsto f(x)\) che consente di assegnare ad \(x\in X\) un valore \(f(x)\in Y\) (nel caso usuale, o più valori nel caso polidromo).
Questa definizione più sbrigativa è più intuitiva della precedente e perciò è più usata da chi si sente soffocato dall'eccessiva rigidità degli oggetti con cui si ha a che fare nell'Algebra Astratta, come ad esempio alcuni Analisti (specialmente che fa PDE o CdV).

Infatti, al di là dell'approccio formale, il matematico che si occupa di problemi concreti non può perdere di vista il fatto che una funzione è la descrizione di un oggetto che ha un certo grado d'aderenza con la realtà.
Ad esempio una funzione \(u:\Omega \to \mathbb{R}\) di classe \(C(\overline{\Omega})\cap C^1(\Omega)\) (qui \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) è un aperto limitato, mettiamo pure connesso) che risolve il seguente problema di minimo:
\[
\min \left\{ \int_\Omega \sqrt{1+|\nabla u(x)|^2}\ \text{d} x,\ u=u_0 \text{ su } \partial \Omega\right\}
\]
ove \(u_0:\partial \Omega \to \mathbb{R}\) è una funzione continua assegnata (questo è il cosiddetto problema dell'area minima in forma non parametrica, o problema di Plateau) rappresenta la forma che assume una pellicola di acqua e sapone che si forma quando si trae dall'acqua e sapone un filo di ferro piegato in modo da seguire il grafico di \(u_0\).
Che in realtà \(u\) sia una relazione così e così, in questo contesto non serve a nulla (nel senso che è una informazione priva di senso rispetto al problema).

Quindi, come al solito, alcune definizioni sono appropriate in certi contesti, altre in altri... Dipende da cosa cerchi di far capire a chi ti ascolta/legge ovvero da ciò che stai studiando come ricercatore.

[Rigel]

Per definizione, dati due insiemi $X$ e $Y$, si dice funzione un sottoinsieme $f\subset X\times Y$ del loro prodotto cartesiano con la proprietà da te enunciata, cioè
\( (x,y)\in f\) e \((x,z)\in f \Longrightarrow y=z\).

Edit: nel frattempo ha risposto gugo.

Per definizione, dati due insiemi $X$ e $Y$, si dice funzione un sottoinsieme $f\subset X\times Y$ del loro prodotto cartesiano con la proprietà da te enunciata, cioè
\( (x,y)\in f\) e \((x,z)\in f \Longrightarrow y=z\).

Edit: nel frattempo ha risposto gugo.

Quindi siamo d'accordo sul fatto che una funzione sia un insieme?

[garnak.olegovitc]

Salve lisdap,

Quindi siamo d'accordo sul fatto che una funzione sia un insieme?

ma certo, è una particolare relazione, questa a sua volta è sottoinsieme improprio di un prodotto cartesiano tra due insiemi.
Cordiali saluti

[G.D.]

ma certo, è una particolare relazione, questa a sua volta è sottoinsieme improprio di un prodotto cartesiano tra due insiemi.
Cordiali saluti

Però il sottoinsieme è proprio.

Per inciso: la definizione di applicazione che a me piace è quella che vede un'applicazione tra due insiemi \(S\) e \(T\) come una coppia ordinata \(\left(S\times T, G\right)\) con \(G\subseteq S\times T\) tale da avere la proprietà espressa da gugo82 all'inizio del suo post.
Non mi piace quella che usa il concetto di terna ordinata perché per definire questo concetto occorre o fare ricorso alle definizioni per induzione che sfruttano una ben precisa applicazione sui naturali, oppure occorre fare ricorso alle applicazioni sulle famiglie indicizzate di elementi di un insieme: insomma in entrambi i casi ci si ritrova in un circolo vizioso. A meno, ovviamente, di definire la terna ordinata con la teoria assiomatica degli insiemi.

Salve lisdap,

Quindi siamo d'accordo sul fatto che una funzione sia un insieme?

ma certo, è una particolare relazione, questa a sua volta è sottoinsieme improprio di un prodotto cartesiano tra due insiemi.
Cordiali saluti

Ok, bene, fin qui ci siamo. Poi, il primo elemento della coppia è indicato con $x$ ed il secondo elemento con $y$; inoltre, siccome il secondo elemento della coppia si indica anche con il simbolo $f(x)$, possiamo scrivere, a proposito del secondo elemento della coppia, $y=f(x)$ giusto?
Ora, se quello che ho scritto finora è corretto, non capisco perchè spesso si indicano le funzioni con la scritta $f(x)$. Tale scritta, infatti, dovrebbe indicare i generici secondi elementi delle varie coppie ordinate e non tutta la funzione; tuttavia ho pensato che, se indico con $x$ il primo elemento della coppia e con $f(x)$ il secondo, indicando solo quest'ultimo resta automaticamente individuato anche il primo, cioè $x$ giusto?

[G.D.]

La risposta all'ultimo punto interrogativo è: no. Se l'applicazione non è iniettiva, allora possono esserci più elementi del dominio ad avere come immagine un certo elemento del codominio.

La risposta all'ultimo punto interrogativo è: no. Se l'applicazione non è iniettiva, allora possono esserci più elementi del dominio ad avere come immagine un certo elemento del codominio.

Si, hai ragione.
Allora perchè le funzioni si indicano anche con il simbolo $f(x)$ se questo rappresenta il secondo elemento della coppia?

[G.D.]

Proprio perché rappresenta il secondo elemento della coppia: se pensi alle funzioni alla maniera degli Analisti, la funzione è legge di assegnazione che manda un elemento \(x\) di un certo dominio in un elemento \(y\) di un certo codominio che, essendo l'immagine tramite la funzione \(f\) di \(x\), è allora denotato con \(f\left(x\right)\); allora, con abuso di notazione, se io indico l'intera funzione con \(f\left(x\right)\) sto dicendo che ho una legge di assegnazione (\(f\)) che agisce su degli elementi (le variabili indipendenti \(x\)) dandomi degli altri elementi (le variabili dipendenti \(f\left(x\right)\)) a questi ultimi legati.