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semigruppi finiti

27/03/2006, 09:54

Dimostrare che ogni semigruppo finito in cui valgono le leggi di cancellazione è un gruppo.

(In un semigruppo $(S;*)$ si dice che valgono le leggi di cancellazione se
da $a*b=a*c$ segue $b=c$
da $b*a=c*a$ segue $b=c$)

27/03/2006, 22:49

detti ${a_1,...a_n}$ gli elementi di S, consideriamo tutti i prodotti del tipo $a_1a_i,i=1,..n$ dalla cancellazione a sinistra essi danno n risultati distinti e quindi esiste un indice j tale che $a_1a_j=a_1$. Post-moltiplichiamo ora per un qualunque $a_k$ e cancelliamo $a_1$, si trova che $a_ja_k=a_k$ per ogni $a_k$ e quindi $a_j$ è l'unità. Per l'inverso, analogamente a prima esiste un indice s tale che $a_1a_s=a_1$... etc etc

ciao, uber
(esercizio canonico questo!)
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