Matematicamente.it

Mi era stato segnalato il testo di un recente post, che non riesco però a rintracciare sul forum.
Perciò lo ribatto qui, scusandomi se sto generando un doppione (che sarò lieto di eliminare se mi si indicherà il post "perso").

"Ogni punto del reticolo Z x Z è colorato con un colore scelto tra n >= 1 possibili.
Per quali n è sempre possibile determinare 2 punti dello stesso colore tali che la loro distanza sia maggiore di 100 e il segmento che li unisce non contenga altri punti del reticolo?"

Non sono sicuro di aver ben capito il problema, quel "sempre" mi confonde";
azzardo comunque una risposta: 8851 colori.

così taaanti ?
Un pittore divisionista puntinista impazzirebbe di gioia,
ma a me tremano le vene ai polsi!

Qualcuno vuol confermare/smentire/approfondire ?

ho ricalcolato con calma, scendendo a 8711 colori, e di lì non credo di potermi schiodare.

ma restano tutte le mie perplessità sulla comprensione del problema ...

Per ora mi limito a fare una osservazione, vedila come "approfondimento", Tony .

Elimino la condizione della distanza, questo forse renderà il problema banale, ma per ora...

Utilizzo questi:

Fatto1: la retta per i due punti $(x,y)$ e $(x',y')$ $in$ $ZxZ$ non contiene altri punti del reticolo $<=>$ $mcd(|x-x'|,|y-y'|)=1$.

Fatto2: supponiamo di avere a disposizione $n$ colori. Se troviamo $n+1$ punti t.c. a coppie verificano la condizione del fatto1, allora esistono 2 punti che verificano la condizione dell'esercizio "semplificato".
dim: infatti per il principio dei cassetti esistono 2 punti colorati uguali.

Vogliamo trovare un procedimento induttivo per fornire i punti necessari ad applicare il fatto2. I punti che si cercheranno saranno del tipo $(n,a_n)$, cioè l'ascissa è fissata e calcolo solo l'ordinata. Supponiamo di avere trovato i primi $k-1$ punti (li ordino secondo le ascisse). L'ordinata del $k_(esimo)$ sarà data dalla $Y$ che risolve il sistema:

$Y = 1 mod (k)$
$Y-a_1=1 mod (k-1)$
$Y-a_1-a2=1 mod (k-2)$
....
$Y-a_1-a_2-...-a_(k-1)=1 mod 1$

Questo sistema ha soluzioni (credo, è un pò di tempo che non lo vedo e non l'ho mai saputo bene a dire il vero ) per il teorema cinese del resto e rispetta le condizioni in quanto vale:

$a=1 mod b => mcd(a,b)=1$

Fine. In pratica avrei voluto dimostrare che quei 2 punti esistono sempre indipendentemente da ogni n, se eliminiamo la condizione sulla distanza. Cosa ne pensate? Secondo me ho fatto qualche errore, altrimenti c'è qualcosa che non mi torna

Ah... per quanto riguarda le difficoltà di interpretazione, io la vedo così Tony:

- Trovare tutti gli $n$ t.c. per qualsiasi colorazione fatta usando solamente $n$ colori sia possibile trovare i 2 punti che verificano la proprietà;

ti pare accettabile?

Tony??