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Un gruppoide si dice con divisione se soddisfa le seguenti condizioni:

1) $ AAx in G, G ** x = G $
2) $ AAy in G, y ** G = G $

Dove * è la legge di composizione binaria.

Come dimostrare che il gruppoide <C, *> sull'insieme C dei numeri complessi è un gruppoide con divisione?
L'operazione * è così definita: $ x ** y = x^2 - y^2$

Grazie!

Mauro

Potrei sbagliare di grosso ma la dimostrazione puo' essere questa.
Siano g=a+bi,x=p+iq,y=r+is 3 elementi di G.
Comunque si scelgano g,x, y si ha:
$x**g=x^2-g^2=(p+iq)^2-(a+ib)^2=(p^2-a^2+b^2-q^2)+i(2pq-2ab)$
$g**y=g^2-y^2=(a+ib)^2-(r+is)^2=(a^2-r^2+s^2-b^2)+i(2ab-2rs)$
e come si vede sia x*g che g*y appartengono a G.
Archimede

L'avevo pensata anche io così, ma ho prima ho trovato:

G * x è l'insieme ${g ** x | g in G}$

L'operazione * non va fatta su OGNI elemento di G? O ho capito male?

Non dovrei quindi ottenere l'insieme di partenza (gruppoide)?

Se non ho capito male,tu dici che l'operazione "*" va fatta sugli elementi di G.
A me sembra tuttavia che questi elementi, essendo del tipo ((m+in)^2-(m'+in')^2 , sono
comunque riconducibili alla forma u+iv.
Vediamo se qualche altro conferma o no queste considerazioni.
Archimede

archimede ha dimostrato che $G star x \subseteq G$ e $y star G\subseteq G$. Ora bisogna provare che per ogni $g in G$ esistono $u,v in G$ tali che $u star x = g$ e $y star v = g$ per ogni $x,y in G$ fissati.