Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramica

Messaggioda maurer » 06/02/2012, 13:07

Attenzione: sembra che il pacchetto xymatrix abbia dei problemi. In attesa di una soluzione ufficiale scriverò i diagrammi commutativi usando TexTheWorld...

Come da accordi presi con Martino, provo ad imbarcarmi in questa piccola impresa. L'idea è che questo thread si espanda fino a contenere un compendio dei risultati e delle tecniche più comuni in algebra commutativa e geometria algebrica, con dovizia di esempi ed esercizi risolti. La mia natura mi impone naturalmente di approfondire anche l'aspetto teorico di tali tecniche. Cercherò di sforzarmi per fare in modo che quanto scritto sia comprensibile alla maggior parte dei lettori, tuttavia c'è un'ostruzione naturale in questo: il linguaggio naturale con cui queste cose vanno dette è piuttosto raffinato e complesso e non mi sembra giusto proporre ora una versione semplificata, perché non sarebbe una descrizione fedele di tali tecniche. Inviterei quindi i lettori a prendere coscienza del fatto che l'Algebra Commutativa e la Geometria Algebrica sono argomenti difficili e che bisogna sudare per potersi impadronire delle meraviglie che si celano al loro interno.

L'idea iniziale era di partire con una visione moderna del concetto di spazio affine, ma mi rendo conto guardandomi in giro che molti hanno difficoltà con gli strumenti tecnici più base dell'algebra commutativa, quali sono i prodotti tensoriali, le localizzazioni ecc. Pertanto, visto che senza familiarità con questi oggetti è impensabile anche solo iniziare a fare algebra commutativa seriamente, disporrò una prima sezione di richiami su queste costruzioni.

Infine, ancora due parole sull'organizzazione delle singole sezioni. Vorrei attenermi al seguente schema: ogni sezione sarà dedicata ad un argomento specifico e ne conterrà una breve trattazione teorica completa delle dimostrazioni più difficili o più significative. Di alcuni teoremi sarà omessa la dimostrazione; essi potranno essere trovati (predisporrò dei link) nella sezione Pensare un Po' di Più in un thread con lo stesso nome della sezione, insieme con altri esercizi teorici e pratici sull'argomento. La seconda parte di ogni sezione, invece, conterrà esempi pratici delle tecniche descritte, ossia un po' di esercizi "tipici" con soluzione dettagliata più qualche esempio che ritengo significativo.

Naturalmente ogni suggerimento, consiglio e segnalazione di errori sarà più che gradita!

Ma ora basta parlare, combattiamo!

Indice

0. I fondamenti del linguaggio: basilari di categorie
    0.1 Le categorie
    0.2 Funtori
    0.3 Comma categorie
    0.4 Trasformazioni naturali
    0.5 Universali e Yoneda
    0.6 Aggiunzioni
1. Strumenti di base: tensori e localizzazioni
    1.1 Diagram Chasing in \( \displaystyle \mathbf{Mod}_A \)
    1.2 Il prodotto tensoriale
    1.3 L'algebra tensoriale e l'algebra esterna
    1.4 Moduli piatti
    1.5 La localizzazione
2. Si inizia: Lo spazio affine!
    2.1 Algebre e morfismi di algebre
    2.2 L'essenza dello spazio affine
    2.3 Insiemi algebrici: non li conoscevamo già?
    2.4 La categoria degli insiemi algebrici: chi sono le mappe? Chiedilo a Yoneda!
    2.5 Il Nullstellensatz
3. Lo spettro di un anello
    3.1 La topologia di Zariski
    3.2 "Funzioni generalizzate" e revisione del Nullstellensatz
    3.3 Proprietà topologiche di \( \displaystyle \text{Spec}(A) \)
4. La decomposizione primaria
    4.1 Ideali primari e moduli primari
    4.2 Ideali associati
    4.3 La decomposizione: proprietà di unicità
    4.4 Le potenze simboliche e un'applicazione notevole: il PIT (Principal Ideal Theorem)
    4.5 La decomposizione primaria in anelli noetheriani
    4.6 Una caratterizzazione dei domini fattoriali
5. La dimensione di un anello
    5.1 La dimensione di Krull
    5.2 La dimensione di Chevalley
    5.3 Anelli di dimensione 0
    5.4 Anelli di dimensione 1
6. Estensioni integrali
    6.1 Incomparability e Going Up
    6.2 Going Down
7. Anelli normali
    7.1 Anelli normali ed il processo di normalizzazione
    7.2 Lemma di Normalizzazione di Noether (versione di Nagata)
    7.3 Finitezza della chiusura integrale
    7.4 Anelli universalmente catenari
8. Il concetto di regolarità
    8.1 Anelli regolari locali
    8.2 I differenziali di Kahler
    8.3 Il criterio Jacobiano

L'indice è provvisorio; per ora si tratta più che altro di una wish-list
Ultima modifica di maurer il 19/04/2012, 14:53, modificato 3 volte in totale.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
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I fondamenti del linguaggio: basilari di categorie (I)

Messaggioda maurer » 06/02/2012, 13:08

Questa sezione non ha certo alcuna pretesa di completezza. Voglio soltanto richiamare i concetti base e delineare la filosofia che vi si cela dietro. Ad ogni modo la conoscenza e una certa dimestichezza con il linguaggio che introdurrò qui è in una certa misura indispensabile per leggere tutto il seguito. Invito pertanto tutti i lettori interessati a prendersi il loro tempo per imparare questo linguaggio che, secondo il parere di un numero sempre crescente di matematici, costituirà il futuro della Matematica. I testi che posso consigliare sono il Categories for the Working Mathematician e l'Adamek, Abstract & Concrete Categories.

0.1 Le categorie

Eviterò i problemi fondazionali. Per il presente progetto non serve considerare categorie troppo grosse.

Definizione. Una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) è il dato di: una collezione di oggetti, denotata \( \displaystyle \text{Obj}(\mathbf C) \) e una famiglia di frecce, denotata \( \displaystyle \text{Ar}(\mathbf C) \) e un'operazione di composizione. Per ogni freccia \( \displaystyle f \in \text{Ar}(\mathbf C) \) è assegnata un'unica coppia \( \displaystyle (a,b) \) di elementi di \( \displaystyle \text{Obj}(\mathbf C) \) che sono rispettivamente detti dominio (o origine) e codominio (o bersaglio) della freccia. Si scriverà \( \displaystyle \text{dom}(f) = a \) , \( \displaystyle \text{cod}(f) = b \) ; si scriverà più concisamente \( \displaystyle f \colon a \to b \) o \( \displaystyle a \stackrel{f}{\to} b \) . Sia \( \displaystyle S = \{(f,g) \mid f,g \in \text{Ar}(\mathbf C), \text{cod}(f) = \text{dom}(g)\} \) l'insieme delle frecce componibili. Allora è assegnata un'operazione \( \displaystyle -\circ- \colon S \to \text{Ar}(\mathbf C) \) , detta composizione tale che:
    1. per ogni oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) esiste una freccia \( \displaystyle 1_c \in \text{Ar}(\mathbf C) \) con \( \displaystyle \text{dom}(1_c) = \text{cod}(1_c) = c \) e tale che per ogni freccia \( \displaystyle f \colon b \to c \) e \( \displaystyle g \colon c \to d \) si abbia \( \displaystyle 1_c \circ f = f \) , \( \displaystyle g \circ 1_c = g \) ;
    2. date frecce \( \displaystyle a \stackrel{f}{\to} b \stackrel{g}{\to} c \stackrel{h}{\to} d \) si ha \( \displaystyle h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \) .

Nota. E' consuetudine omettere il simbolo di composizione. Pertanto quando scriverò \( \displaystyle gf \) intenderò: i) che \( \displaystyle f \) sono componibili \( \displaystyle g \) e ii) \( \displaystyle gf := g \circ f \) .

Definizione. Una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) è detta piccola se \( \displaystyle \text{Obj}(\mathbf C) \) è un insieme e non una classe propria.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Fissati due oggetti \( \displaystyle a,b \in \text{Obj}(\mathbf C) \) denoteremo con \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,b) \) o con \( \displaystyle \mathbf C(a,b) \) la classe delle frecce con dominio \( \displaystyle a \) e codominio \( \displaystyle b \) . Diremo che \( \displaystyle \mathbf C \) è localmente piccola se per ogni scelta di \( \displaystyle a,b \in \mathbf C \) la classe \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,b) \) è un insieme.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria, sia \( \displaystyle f \colon a \to b \) una freccia. Diremo che
    1. \( \displaystyle f \) è mono se è cancellabile a sinistra, ossia se \( \displaystyle fg = fh \) allora \( \displaystyle g = h \) ;
    2. \( \displaystyle f \) è epi se è cancellabile a destra, ossia se \( \displaystyle gf = hf \) allora \( \displaystyle g = h \) ;
    3. \( \displaystyle f \) è un isomorfismo se esiste \( \displaystyle g \colon b \to a \) tale che \( \displaystyle gf = 1_a \) e \( \displaystyle fg = 1_b \) . Si dirà anche che \( \displaystyle f \) è invertibile. In questo caso diremo che \( \displaystyle a \) e \( \displaystyle b \) sono isomorfi in \( \displaystyle \mathbf C \) .

Nota. Tutte le categorie con cui lavoreremo saranno localmente piccole.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. La categoria opposta a \( \displaystyle \mathbf C \) è definita come la categoria \( \displaystyle \mathbf C^{\text{op}} \) i cui oggetti sono gli oggetti di \( \displaystyle \mathbf C \) e, per definizione \( \displaystyle \hom_{\mathbf{C}^\text{op}}(b,a) := \hom_{\mathbf C}(a,b) \) .

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Diremo che \( \displaystyle \mathbf C \) ha un oggetto iniziale se esiste \( \displaystyle \mathbf 0 \in \mathbf C \) tale che per ogni oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) esiste un'unica freccia \( \displaystyle f \colon \mathbf 0 \to c \) . Diremo che \( \displaystyle \mathbf C \) ha un oggetto finale se esiste \( \displaystyle \mathbf 1 \in \mathbf C \) tale che per ogni altro oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) esiste un'unica freccia \( \displaystyle g \colon c \to \mathbf 1 \) . Se l'oggetto iniziale e l'oggetto finale coincidono, vengono chiamati zero-oggetto.

Esempi
    1. Le categorie con un solo oggetto. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria con un solo oggetto \( \displaystyle c \) . In questo caso \( \displaystyle \mathbf C \) è completamente determinata da \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(c,c) \) . Si osservi che gli assiomi di categoria rendono \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(c,c) \) un monoide. Viceversa, ogni monoide può essere pensato come una categoria con un solo oggetto. Se tutte le frecce sono invertibili, allora \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(c,c) \) è un gruppo; viceversa, ogni gruppo può essere pensato come una categoria con un solo oggetto in cui ogni freccia è invertibile.
    2. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Set} \) , i cui oggetti sono gli insiemi piccoli (contenuti in un universo di Grothendieck prefissato) e le frecce sono le funzioni tra insiemi. Questa categoria ha oggetto iniziale ( \( \displaystyle \emptyset \) ) e oggetto finale ( \( \displaystyle \{*\} \) , l'insieme formato da un solo elemento).
    3. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Grp} \) , i cui oggetti sono i gruppi e le frecce sono i morfismi di gruppo. Il gruppo nullo è un esempio di zero-oggetto.
    4. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Ab} \) , i cui oggetti sono i gruppi abeliani e le frecce sono i morfismi di gruppi abeliani.
    5. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Top} \) , i cui oggetti sono gli spazi topologici e le frecce sono le mappe continue tra spazi topologici.
    6. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Toph} \) , i cui oggetti sono gli spazi topologici e le frecce sono classi di omotopia di mappe continue.
    7. La categoria \( \displaystyle \mathbf{CRing} \) , i cui oggetti sono gli anelli commutativi unitari e le frecce sono i morfismi di anelli commutativi unitari (si intende che una siffatta mappa porti l'unità nell'unità).
    8. I preordini: ogni preordine \( \displaystyle (X,\le) \) è una categoria in cui \( \displaystyle \hom_X(a,b) = \emptyset \) se e solo se \( \displaystyle a \not \le b \) mentre \( \displaystyle \hom_X(a,b) \) contiene esattamente un elemento se \( \displaystyle a \le b \) .

Esercizi.
    1. Si dimostri che ogni oggetto della precedente lista è effettivamente una categoria.
    2. Si dimostri che la categoria opposta è effettivamente una categoria. Se \( \displaystyle (X,\le) \) è un preordine, chi è la categoria opposta?
    3. Si dimostri che in \( \displaystyle \mathbf{Set} \) una freccia è mono se e solo se è iniettiva ed è epi se e solo se è suriettiva. Si dimostri che la stessa cosa è vera in \( \displaystyle \mathbf{Grp} \) . Si fornisca un esempio in \( \displaystyle \mathbf{Top} \) di una freccia epi che non è suriettiva.
    4. Data una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) si possono identificare tra loro gli oggetti isomorfi ottenendo quello che viene detto lo scheletro di \( \displaystyle \mathbf C \) . In un preordine, chi sono gli oggetti isomorfi? E chi è lo scheletro di un preordine?
    5. Una freccia \( \displaystyle f \colon a \to b \) in \( \displaystyle \mathbf C \) è detta split mono se esiste \( \displaystyle g \colon b \to a \) tale che \( \displaystyle gf = 1_a \) . Mostrare che una freccia split mono è mono. In questo caso si dice che \( \displaystyle g \) è una retrazione di \( \displaystyle f \) .
    6. Una freccia \( \displaystyle f \colon a \to b \) in \( \displaystyle \mathbf C \) è detta split epi se esiste \( \displaystyle g \colon b \to a \) tale che \( \displaystyle fg = 1_b \) . Mostrare che una freccia split epi è epi. In questo caso si dice che \( \displaystyle g \) è una sezione di \( \displaystyle f \) .
    7. Mostrare che una freccia \( \displaystyle f \colon a \to b \) che è epi e split mono è un isomorfismo. Mostrare che se \( \displaystyle f \) è mono e split epi è un isomorfismo.
    8. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Mostrare che due oggetti iniziali sono isomorfi (e lo stesso vale per due oggetti finali).

0.2 Funtori

E' stata introdotta l'idea di categoria. In questa brevissima dispensa cercherò di convincervi che l'idea di categoria è uguale all'idea di movimento, anche se a questo stadio non è chiaro il motivo. MacLane spiega, nel suo libro, che l'idea di categoria nasce per poter parlare di funtore e che si introduce il concetto di funtore per poter parlare di trasformazione naturale. Bisogna aspettare pertanto fino all'introduzione dell'idea di trasformazione naturale per iniziare a capire davvero perché il linguaggio categoriale sia il linguaggio giusto.

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathbf C, \mathbf D \) due categorie. Un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) è il dato di due funzioni \( \displaystyle \mathcal F_{\text{Obj}} \colon \text{Obj}(\mathbf C) \to \text{Obj}(\mathbf D) \) e \( \displaystyle \mathcal F_{\text{Ar}} \colon \text{Ar}(\mathbf C) \to \text{Ar}(\mathbf D) \) (che però saranno denotate omettendo i pedici) tali che:
    1. \( \displaystyle \text{dom}(\mathcal F(f)) = \mathcal F(\text{dom}(f)) \) e \( \displaystyle \text{cod}(\mathcal F(f)) = \mathcal F(\text{cod}(f)) \) ;
    2. \( \displaystyle \mathcal F(1_c) = 1_{\mathcal F(c)} \) ;
    3. \( \displaystyle \mathcal F(gf) = \mathcal F(g) \mathcal F(f) \) .

Nota. Un funtore viene talvolta detto funtore covariante. Se al posto della condizione 3. avessimo chiesto \( \displaystyle \mathcal F(gf) = \mathcal F(f) \mathcal F(g) \) si parlerebbe di funtore controvariante (perché rovescia l'ordine delle frecce). Tuttavia, è facile vedere che l'idea di funtore controvariante non è un concetto "nuovo": un funtore controvariante da \( \displaystyle \mathbf C \) a \( \displaystyle \mathbf D \) è semplicemente un funtore covariante da \( \displaystyle \mathbf C^{\text{op}} \) a \( \displaystyle \mathbf D \) .

Intuitivamente, può essere utile pensare che un funtore è un "morfismo di categorie", ossia una funzione che preserva la struttura, ma in ogni caso vedete che la definizione non è molto complessa.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . Diremo che:
    1. \( \displaystyle \mathcal F \) è pieno se per ogni coppia \( \displaystyle a,b \in \mathbf C \) la funzione indotta \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,b) \to \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(a),\mathcal F(b)) \) è suriettiva;
    2. \( \displaystyle \mathcal F \) è fedele se per ogni coppia \( \displaystyle a,b \in \mathbf C \) la funzione indotta \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,b) \to \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(a),\mathcal F(b)) \) è iniettiva;
    3. \( \displaystyle \mathcal F \) è pienamente fedele se è pieno e fedele;
    4. \( \displaystyle \mathcal F \) è essenzialmente suriettivo se per ogni \( \displaystyle d \in \mathbf D \) esiste un oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) tale che \( \displaystyle \mathcal F(c) \) sia isomorfo a \( \displaystyle d \) .
    5. \( \displaystyle \mathcal F \) è un'immersione (embedding) se è pienamente fedele ed iniettivo sugli oggetti.

Esempi.
    1. Siano \( \displaystyle \mathbf G \) e \( \displaystyle \mathbf H \) due gruppi (da pensarsi come al punto 1. degli esempi della sezione 0.1). Un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf G \to \mathbf H \) è semplicemente un morfismo di gruppi.
    2. Esiste tutta una classe di funtori, detti funtori dimenticanti che operano dimenticando parte della struttura di una categoria. I più utili e quelli su cui torneremo più spesso sono i seguenti: il funtore \( \displaystyle U \colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set} \) che associa ad uno spazio topologico il suo supporto e ad una funzione la corrispondente funzione tra i supporti (si dimentica la topologia e la continuità). Il funtore \( \displaystyle U \colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} \) , che ad un gruppo associa l'insieme sottostante e ad un morfismo di gruppi associa la funzione di insiemi corrispondente; il funtore \( \displaystyle U \colon \mathbf{CRing} \to \mathbf{Set} \) , che opera nello stesso modo di quello precedente.
    3. Per ogni \( \displaystyle n \) , \( \displaystyle \pi_n \colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Grp} \) e \( \displaystyle H_n \colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Ab} \) sono funtori (intendo rispettivamente l'n-esimo gruppo fondamentale e l'n-esimo gruppo di omologia singolare).
    4. Si fissi una categoria (localmente piccola) \( \displaystyle \mathbf C \) . Per ogni oggetto \( \displaystyle a \in \mathbf C \) possiamo definire un funtore \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,-) \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) ponendo \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,-)(b) := \hom_{\mathbf C}(a,b) \) e, se \( \displaystyle f \colon c \to d \) , \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(a,f) = f_* \colon \hom_\mathbf{C}(a,c) \to \hom_{\mathbf C}(a,d) \) (f push-forward), dove \( \displaystyle f_*(g) := f \circ g \) . Si può definire anche un altro funtore, controvariante questa volta, \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(-,a) \colon \mathbf C^\text{op} \to \mathbf{Set} \) ponendo \( \displaystyle \hom_\mathbf{C}(-,a)(b) := \hom_\mathbf{C}(b,a) \) e \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(f,a) := f^* \) , dove \( \displaystyle f^*(g) := g \circ f \) .

Nota. L'esempio 4. è particolarmente importante. I funtori del tipo \( \displaystyle \hom(a,-) \) sono detti funtori rappresentabili e vedremo che sono strettamente collegati alle proprietà universali. I funtori \( \displaystyle \hom(-,a) \) vengono detti talvolta prefasci rappresentabili di insiemi.

Esercizi.
    1. Si dimostri che i funtori dimenticanti introdotti nell'esempio 2. sono fedeli. Sono anche pieni?
    2. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore; si dimostri che se \( \displaystyle a \) è isomorfo a \( \displaystyle b \) in \( \displaystyle \mathbf C \) allora \( \displaystyle \mathcal F(a) \) è isomorfo a \( \displaystyle \mathcal F(b) \) in \( \displaystyle \mathbf D \) .
    3. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore. Mostrare che l'immagine di una freccia split mono è ancora split mono. Mostrare che l'immagine di una split epi è ancora una split epi.
    4. Sia \( \displaystyle \mathcal F\colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore pienamente fedele. Si dimostri che \( \displaystyle f \colon a \to b \) è un isomorfismo se e solo se \( \displaystyle \mathcal F(f) \colon \mathcal F(a) \to \mathcal F(b) \) lo è.
    5. Sia \( \displaystyle \mathbf G \) un gruppo, pensato come categoria con un solo elemento. Si dimostri che un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf G \to \mathbf{Set} \) è un'azione destra di gruppo e, viceversa, ogni azione di gruppo può essere vista come un funtore.

Comma Categorie

In questa sezione presento un concetto ritenuto "tecnico" ma che in realtà è di una utilità pazzesca. Vedremo nel seguito come certe strutture matematiche si possono ricondurre praticamente a gratis al concetto di comma categoria. Inoltre, fornirà una semplificazione teorica di alcuni risultati.

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf A \to \mathbf B \) e \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf C \to \mathbf B \) due funtori. La comma categoria \( \displaystyle (\mathcal F \downarrow \mathcal G) \) è definita come la categoria i cui oggetti sono le terne \( \displaystyle (a,c,f) \) , dove \( \displaystyle a \in \mathbf A \) , \( \displaystyle c \in \mathbf C \) e \( \displaystyle f \colon \mathcal F(a) \to \mathcal G(c) \) . Le frecce tra \( \displaystyle (a,c,f) \) e \( \displaystyle (b,d,g) \) sono invece coppie \( \displaystyle (h,k) \) dove \( \displaystyle h \colon a \to b \) , \( \displaystyle k \colon c \to d \) tali che il seguente diagramma
\xymatrix { a \ar[d]^h & \mathcal F(a) \ar[d]^{\mathcal F(h)} \ar[r]^f & \mathcal G(c) \ar[d]^{\mathcal G(k)} & c \ar[d]^k \\ b & \mathcal F(b) \ar[r]^g & \mathcal F(d) & d }
commuti.

Esempi.
    1. Si fissi una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) ed un oggetto \( \displaystyle a \in \mathbf C \) . Sia \( \displaystyle \mathbf 1 \) la categoria con un solo oggetto \( \displaystyle * \) ed una sola freccia, sia \( \displaystyle \mathbf a \colon \mathbf 1 \to \mathbf C \) definito da \( \displaystyle \mathbf a(*) := a \) . Sia \( \displaystyle \text{Id}_\mathbf{C} \) il funtore identico su \( \displaystyle \mathbf C \) . La comma categoria \( \displaystyle (\mathbf a \downarrow \text{Id}_\mathbf{C}) \) è detta categoria degli oggetti sotto \( \displaystyle a \) e viene usualmente denotata \( \displaystyle (a \downarrow \mathbf C) \) . Si possono semplificare le notazioni, in questo caso: gli oggetti sono le frecce \( \displaystyle f \colon a \to b \) ed una freccia da \( \displaystyle f \colon a \to b \) a \( \displaystyle g \colon a \to c \) è una freccia \( \displaystyle h \colon b \to c \) tale che
    \xymatrix{ & a \ar[dl]_f \ar[dr]^g \\ b \ar[rr]^h & & c}
    commuti. Vedremo in dettaglio maggiore che se \( \displaystyle A \in \mathbf{CRing} \) allora \( \displaystyle (A \downarrow \mathbf{CRing}) \) è la categoria delle \( \displaystyle A \) -algebre (si veda anche l'esercizio 1 di questa sezione).
    2. Con le notazioni del punto precedente, la categoria \( \displaystyle (\text{Id}_\mathbf{C} \downarrow \mathbf a) \) è detta categoria degli oggetti sopra \( \displaystyle a \) e viene denotata \( \displaystyle (\mathbf C \downarrow a) \) . Anche in questo caso, le notazioni sono semplificate: gli oggetti sono le frecce \( \displaystyle f \colon b \to a \) ed una freccia da \( \displaystyle f \colon b \to a \) a \( \displaystyle g \colon c \to a \) è una freccia \( \displaystyle h \colon b \to c \) tale che
    \xymatrix { b \ar[rr]^h \ar[dr]_f & & c \ar[dl]^g \\ & a}
    A qualcuno ricorderà senz'altro la situazione comune a qualunque forma di fibrato su uno spazio topologico.
    3. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) un funtore. La categoria \( \displaystyle (\{*\} \downarrow \mathcal F) \) è detta categoria degli elementi di \( \displaystyle \mathcal F \) e viene denotata \( \displaystyle \int_\mathbf{C} \mathcal F \) .

Esercizi.
    1. Se \( \displaystyle A \) è un anello commutativo, si dimostri esplicitamente che \( \displaystyle (A \downarrow \mathbf{CRing}) \) è la categoria delle \( \displaystyle A \) -algebre.
    2. Se \( \displaystyle t \) è un oggetto terminale in \( \displaystyle \mathbf C \) , si dimostri che \( \displaystyle (\mathbf C \downarrow t) \) è isomorfa a \( \displaystyle \mathbf C \) .

Trasformazioni Naturali

Come ho già detto prima, questo è uno dei concetti fondamentali della teoria delle categorie elementare. La definizione può sembrare ostica a primo acchito. Tuttavia, consiglio a tutti i lettori di tenere in mente la seguente situazione: siano \( \displaystyle X,Y \) spazi topologici e siano \( \displaystyle f,g \colon X \to Y \) due mappe continue; infine, sia \( \displaystyle F \colon X \times I \to Y \) un'omotopia da \( \displaystyle f \) a \( \displaystyle g \) . Sostituiremo agli spazi \( \displaystyle X,Y \) due categorie, alle applicazioni \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) due funtori e la nozione di trasformazione naturale sarà l'analogo di quella di omotopia. In un certo senso, le trasformazioni naturali possono essere pensate come "deformazioni continue" di un funtore in un altro.

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathcal F, \mathcal G \colon \mathbf C \to \mathbf D \) due funtori. Una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \mathcal F \to \mathcal G \) è il dato di una collezione di frecce di \( \displaystyle \mathbf D \) , \( \displaystyle \{\varphi_c \colon \mathcal F(c) \to \mathcal G(c)\}_{c \in \mathbf C} \) , dette componenti di \( \displaystyle \varphi \) , tali che per ogni coppia di oggetti \( \displaystyle c,c^\prime \in \mathbf C \) ed ogni freccia \( \displaystyle f \colon c \to c^\prime \) il seguente diagramma commuti:
\xymatrix { c \ar[d]^f & \mathcal F(c) \ar[d]^{\mathcal F(f)} \ar[r]^{\varphi_c} & \mathcal G(c) \ar[d]^{\mathcal G(f)} \\ c^\prime & \mathcal F(c^\prime) \ar[r]^{\varphi_{c^\prime}} & \mathcal G(c^\prime) }

Definizione. Diremo che una trasformazione naturale è un isomorfismo naturale se ogni sua componente è un isomorfismo; diremo che una trasformazione naturale è mono (risp. epi) se ogni sua componente è mono (risp. epi).

L'idea di trasformazione naturale è davvero profonda. Sussume diversi concetti all'apparenza distinti, ma probabilmente il suo più grande merito è di consentire di definire cosa sia una costruzione canonica. Mi spiego meglio; possiamo immaginare di fissare una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) e di avere una data costruzione che può essere ben rappresentata da un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf C \) . La costruzione è canonica quando non dipende veramente dal singolo oggetto su cui operata, ossia quando è possibile determinare una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal F \) (una "deformazione" del funtore identico). Vediamo un esempio concreto: come ci viene insegnato fin da quando siamo piccoli, se \( \displaystyle V \) è un \( \displaystyle k \) -spazio vettoriale di dimensione finita e \( \displaystyle V^* \) denota il suo duale, allora l'accoppiamento di dualità \( \displaystyle \langle - \mid - \rangle \colon V \times V^* \to k \) definita da \( \displaystyle \langle \mathbf v \mid \xi \rangle := \xi(\mathbf v) \) definisce un isomorfismo canonico \( \displaystyle \varphi_V \colon V \cong (V^*)^* \) . Cosa vuol dire questo? Denotiamo con \( \displaystyle \mathbf C := \mathbf{Vect}_k^{\text{fin}} \) la categoria dei \( \displaystyle k \) -spazi vettoriali di dimensione finita. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf C \) il funtore definito da \( \displaystyle \mathcal F(V) := (V^*)^* \) . Come agisce \( \displaystyle F \) sulle frecce? Se \( \displaystyle f \colon V \to W \) , \( \displaystyle \mathcal F(f) \) sarà definita da \( \displaystyle \mathcal F(f)(\langle \mathbf v \mid - \rangle) := \langle f(\mathbf v) \mid - \rangle \in (W^*)^* \) . Gli isomorfismi \( \displaystyle \varphi_V \) sono le componenti di una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal F \) ? La risposta è sì, e questo dà ragione del fatto che la costruzione sia canonica. Per vederlo, basta un semplice controllo: dobbiamo controllare che per ogni freccia \( \displaystyle f \colon V \to W \) in \( \displaystyle \mathbf C \) il diagramma
\xymatrix{ V \ar[d]^f \ar[r]^{\varphi_V} & (V^*)^* \ar[d]^{\mathcal F(f)} \\ W \ar[r]^{\varphi_W} & (W^*)^* }
commuti. Sia \( \displaystyle \mathbf v \in V \) . Allora abbiamo
\( \displaystyle (\mathcal F(f) \circ \varphi_V)(\mathbf v) = \mathcal F(f)(\langle \mathbf v \mid - \rangle) = \langle f(\mathbf v) \mid - \rangle = \varphi_W(f(\mathbf v)) = (\varphi_W \circ f)(\mathbf v) \) e quindi \( \displaystyle \mathcal F(f) \circ \varphi_V = \varphi_W \circ f \) , ossia il diagramma è commutativo.

Le trasformazioni naturali sono esempi di 2-frecce. Si può formare la categoria di tutte le categorie (piccole), \( \displaystyle \mathbf{Cat} \) , in cui gli oggetti sono le categorie (piccole) e le frecce sono i funtori. Le trasformazioni naturail svolgono il ruolo di frecce tra frecce. Costruiremo ora un'importante esempio, la categoria funtoriale \( \displaystyle \text{Funct}(\mathbf C, \mathbf D) = \mathbf D^\mathbf{C} \) . Gli oggetti di questa categoria sono i funtori \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) , mentre le frecce sono le trasformazioni naturali tra funtori. Per vedere che questa è effettivamente una categoria bisogna definire un'operazione di composizione di trasformazioni naturali. Come vedremo, questa è una composizione verticale. Si consideri la seguente situazione:
\xymatrix{ \mathbf C \ar@/^1.1pc/[rr]^{\mathcal F}_{\Downarrow \eta} \ar[rr]|{\mathcal{G}}_{\Downarrow \epsilon} \ar@/_1.1pc/[rr]_{\mathcal{H}} & & \mathbf D }
Definiremo la trasformazione naturale \( \displaystyle \epsilon \circ \eta \) per componenti, ponendo \( \displaystyle (\epsilon \circ \eta)_c := \epsilon_c \circ \eta_c \) . Controlliamo che \( \displaystyle \epsilon \circ \eta \) sia effettivamente una trasformazione naturale: dobbiamo controllare che il seguente diagramma
\xymatrix{ c \ar[d]^f & \mathcal F(c) \ar[d]^{\mathcal F(f)} \ar[r]^{\epsilon_c \circ \eta_c} & \mathcal H(c) \ar[d]^{\mathcal H(f)} \\ c^\prime & \mathcal F(c^\prime) \ar[r]^{\epsilon_{c^\prime} \circ \eta_{c^\prime}} & \mathcal H(c^\prime) }
commuti. Si ha: \( \displaystyle \mathcal H(f) \circ (\epsilon_c \circ \eta_c) = (\mathcal H(f) \circ \epsilon_c) \circ \eta_c = \epsilon_{c^\prime} \circ (\mathcal G(f) \circ \eta_c) = \epsilon_{c^\prime} \circ (\eta_{c'} \circ \mathcal F(f)) = (\epsilon_{c^\prime} \circ \eta_{c'}) \circ \mathcal F(f) \) , e questo conclude la verifica.

Esempi.
    1. Per ogni \( \displaystyle n \in \mathbb N \) si consideri il funtore \( \displaystyle \text{GL}_n \colon \mathbf{CRing} \to \mathbf{Grp} \) che associa all'anello \( \displaystyle A \) il gruppo delle matrici quadrate invertibili \( \displaystyle n \times n \) \( \displaystyle \text{GL}_n(A) \) a coefficienti in \( \displaystyle A \) . Sia inoltre \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf{CRing} \to \mathbf{Grp} \) il funtore definito da \( \displaystyle \mathcal F(A) := A^\times \) , dove \( \displaystyle A^\times \) denota il gruppo delle unità di \( \displaystyle A \) . Allora possiamo definire una trasformazione naturale \( \displaystyle \text{det}_n \colon \text{GL}_n \to \mathcal F \) definita da \( \displaystyle (\text{det}_n)_A = \det \colon \text{GL}_n(A) \to A^\times \) . Allora \( \displaystyle \text{det}_n \) è una trasformazione naturale.
    2. Sia \( \displaystyle \mathbf{C} \) una categoria. La categoria \( \displaystyle \mathbf{Set}^{\mathbf C^{\text{op}}} \) è detta categoria dei prefasci (di insiemi) su \( \displaystyle \mathbf C \) .

Come sappiamo bene, l'idea di equivalenza omotopica è di fondamentale importanza in tutta la topologia algebrica. Seguendo l'analogia tra trasformazioni naturali ed omotopie, possiamo definire la nozione di equivalenza di categorie:

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathbf C \) e \( \displaystyle \mathbf D \) due categorie. Diciamo che sono equivalenti se esistono due funtori \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) e \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) e due isomorfismi naturali \( \displaystyle \varphi \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal G \circ \mathcal F \) , \( \displaystyle \psi \colon \text{Id}_\mathbf{D} \to \mathcal F \circ \mathcal G \) . Diremo che \( \displaystyle \mathcal F \) e \( \displaystyle \mathcal G \) sono uno il quasi-inverso dell'altro.

Teorema. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore. Allora \( \displaystyle \mathcal F \) fa parte di un'equivalenza di categorie se e solo se è pienamente fedele ed essenzialmente suriettivo.
Dimostrazione. Supponiamo che \( \displaystyle \mathcal F \) sia parte di un'equivalenza di categorie, sia \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) il suo quasi-inverso. Siano \( \displaystyle \eta \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal G \mathcal F \) , \( \displaystyle \epsilon \colon \mathcal F \mathcal G \to \text{Id}_\mathbf{D} \) i due isomorfismi naturali assegnati con l'equivalenza di categorie. Allora la naturalità di \( \displaystyle \eta \) implica che per ogni \( \displaystyle f \colon c \to c' \) in \( \displaystyle \mathbf{C} \) si abbia \( \displaystyle \eta_{c'} \circ f = \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_c \) , ossia \( \displaystyle f = \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_c \) ; in maniera simmetrica, se \( \displaystyle g \colon d \to d' \) in \( \displaystyle \mathbf{D} \) , allora \( \displaystyle g \circ \epsilon_d = \epsilon_{d'} \circ \mathcal F \mathcal G(g) \) , ossia \( \displaystyle g = \epsilon_{d'} \circ \mathcal F \mathcal G(g) \circ \epsilon_{d}^{-1} \) . Ora, questo implica immediatamente che entrambi \( \displaystyle \mathcal F \) e \( \displaystyle \mathcal G \) siano fedeli: infatti, se \( \displaystyle f,f' \colon c \to c' \) sono due frecce parallele tali che \( \displaystyle \mathcal F(f) = \mathcal F(f') \) allora \( \displaystyle f = \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_c = \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G \mathcal F(f') \circ \eta_c = f' \) (e in modo analogo per \( \displaystyle \mathcal G \) ). Ora, se \( \displaystyle g \in \hom_{\mathbf D}(\mathcal F(c), \mathcal F(c')) \) è una freccia qualunque, si ponga \( \displaystyle f := \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G(g) \circ \eta_c \) . Pertanto da \( \displaystyle f = \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_c \) segue \( \displaystyle \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G(g) \circ \eta_c = \eta_{c'}^{-1} \circ \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_c \) e quindi, essendo \( \displaystyle \eta \) un isomorfismo naturale, \( \displaystyle \mathcal G(g) = \mathcal G \mathcal F(f) \) ; tuttavia, \( \displaystyle \mathcal G \) è fedele e pertanto da qui deduciamo \( \displaystyle \mathcal F(f) = g \) , sicché \( \displaystyle \mathcal F \) è anche pieno. Mostriamo che \( \displaystyle \mathcal F \) è essenzialmente suriettivo; si fissi \( \displaystyle d \in \mathbf D \) ; allora \( \displaystyle \epsilon_d \colon \mathcal F \mathcal G(d) \to d \) è un isomorfismo e pertanto la proprietà è verificata.
Ora si assuma il viceversa. Si usi l'assioma della scelta per selezionare, per ogni \( \displaystyle d \in \mathbf D \) un elemento \( \displaystyle c_d \in \mathbf C \) tale che \( \displaystyle \mathcal F(c_d) \simeq d \) ; si usi l'assioma della scelta anche per selezionare, per ogni \( \displaystyle d \in \mathbf D \) un isomorfismo \( \displaystyle \tau_d \colon \mathcal F(c_d) \to d \) . Costruiamo il funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) ponendo \( \displaystyle \mathcal G(d) := c_d \) ; inoltre se \( \displaystyle g \colon d \to d' \) , si avrà un isomorfismo \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{D}(d,d') \cong \hom_{\mathbf D}(\mathcal F(c_d), \mathcal F(c_{d'})) \cong \hom_\mathbf{C}(c_d,c_{d'}) \) , definito da \( \displaystyle \varphi(g) := \mathcal F^{-1}(\tau_{d'}^{-1} \circ g \circ \tau_d) \) ; usando questo definiamo \( \displaystyle \mathcal G(g) := \varphi(g) \) . Controlliamo che \( \displaystyle \mathcal G \) sia effettivamente un funtore. Innanzi tutto, \( \displaystyle \mathcal G(1_d) = \mathcal F^{-1}(1_{\mathcal F(c_d)}) = 1_{d \) perché \( \displaystyle \mathcal F \) è pieno e fedele. Inoltre se \( \displaystyle d \stackrel{f}{\to} d' \stackrel{g}{\to} d'' \) , \( \displaystyle \mathcal G(g \circ f) = \mathcal F^{-1}(\tau_{d''}^{-1} \circ g \circ \tau_{d'} \circ \tau_{d'}^{-1} \circ f \circ \tau_d) = \mathcal G(g) \circ \mathcal G(f) \) di nuovo grazie al fatto che \( \displaystyle \mathcal F \) è pieno e fedele. Per costruzione abbiamo la collezione di isomorfismi \( \displaystyle \{\tau_d \colon \mathcal F \mathcal G(d) \to d \}_{d \in \mathbf D} \) ; questi sono le componenti di una trasformazione naturale \( \displaystyle \tau \colon \text{Id}_{\mathbf D} \to \mathcal F \mathcal G \) perché per ogni \( \displaystyle f \colon d \to d' \) si ha \( \displaystyle \tau_{d'} \circ \mathcal F \mathcal G(f) = \tau_{d'} \circ \tau_{d'}^{-1} \circ f \circ \tau_d = f \circ \tau_d \) , che è precisamente la condizione di naturalità richiesta. Per concludere la prova, occorre solo determinare un isomorfismo naturale \( \displaystyle \eta \colon \text{Id}_{\mathbf C} \to \mathcal G \mathcal F \) . Si fissi \( \displaystyle c \in \mathbf C \) ; allora abbiamo un isomorfismo \( \displaystyle \tau_{\mathcal F(c)}^{-1} \colon \mathcal F(c) \to \mathcal F \mathcal G \mathcal F(c) \) ; siccome \( \displaystyle \mathcal F \) è pienamente fedele, questo corrisponde ad un isomorfismo \( \displaystyle \eta_c = \mathcal F^{-1}(\tau_{\mathcal F(c)}^{-1}) \colon c \simeq \mathcal G \mathcal F(c) \) . Controlliamo che \( \displaystyle \{\eta_c\}_{c \in \mathbf C} \) sia una trasformazione naturale: \( \displaystyle \mathcal G \mathcal F(g) \circ \eta_c = \mathcal F^{-1}(\tau_{\mathcal F(c')}^{-1} \circ \mathcal F(g) \circ \tau_{\mathcal F(c)} \circ \tau_{\mathcal F(c)}^{-1}) = \eta_{c'} \circ g \) , che è quanto si voleva dimostrare. []

Per ora non fornisco esempi di equivalenza di categorie; più avanti costruiremo esplicitamente delle equivalenze di categorie che legheranno la geometria all'algebra.

Esercizi.
    1. Siano \( \displaystyle \mathcal F_1, \mathcal F_2 \colon \mathbf B \to \mathbf C \) , \( \displaystyle \mathcal G_1, \mathcal G_2 \colon \mathbf C \to \mathbf D \) due coppie di funtori paralleli. Siano \( \displaystyle \eta \colon \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \) , \( \displaystyle \varphi \colon \mathcal G_1 \to \mathcal G_2 \) due trasformazioni naturali. Si dimostri che per ogni \( \displaystyle a \in \mathbf B \) si ha \( \displaystyle \varphi_{\mathcal F_2(a)} \circ \mathcal G_1(\eta_a) = \mathcal G_2(\eta_a) \circ \varphi_{\mathcal F_1(a)} \) e si denoti questa composizione con \( \displaystyle (\varphi \circ \eta)_a \) . Si dimostri che \( \displaystyle \{(\varphi \circ \eta)_a\}_{a \in \mathbf B} \) è una trasformazione naturale da \( \displaystyle \mathcal G_1 \circ \mathcal F_1 \) a \( \displaystyle \mathcal G_2 \circ \mathcal F_2 \) . Questa composizione viene detta composizione orizzontale di trasformazioni naturali e viene denotata \( \displaystyle \varphi \circ \eta \) . In diagramma:
    \xymatrix { \mathbf B \ar@/^0.5pc/[r]^{\mathcal F_1}_{\Downarrow \eta} \ar@/_0.5pc/[r]_{\mathcal F_2} & \mathbf C \ar@/^0.5pc/[r]^{\mathcal G_1}_{\Downarrow \varphi} \ar@/_0.5pc/[r]_{\mathcal G_2} & \mathbf D }
    2. Siano \( \displaystyle \mathcal F, \mathcal G \colon \mathbf C \to \mathbf D \) due funtori. Si dimostri che una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \mathcal F \to \mathcal G \) è la stessa cosa di un funtore \( \displaystyle \mathcal H \colon \mathbf C \times \mathbf I \to \mathbf D \) dove \( \displaystyle \mathbf I = \{0 \to 1\} \) (la categoria con due elementi ed una sola freccia tra di essi) ed inoltre soddisfacente alla richiesta \( \displaystyle \mathcal H(-,0) = \mathcal F \) , \( \displaystyle \mathcal H(-,1) = \mathcal G \) .
    3. Siano \( \displaystyle \mathbf G \) e \( \displaystyle \mathbf H \) due gruppi (pensati come categorie con un solo oggetto). Siano \( \displaystyle \mathcal S, \mathcal T \colon \mathbf G \to \mathbf H \) due funtori; si dimostri che \( \displaystyle \mathcal S, \mathcal T \) sono due morfismi di gruppo e che sono coniugati (i.e. esiste un automorfismo interno di \( \displaystyle \mathbf H \) tale che composto con \( \displaystyle \mathcal T \) dia \( \displaystyle \mathcal S \) ) se e solo se esiste una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \mathcal S \to \mathcal T \) .
    4. Sia \( \displaystyle \mathbf G \) un gruppo pensato come categoria con un solo oggetto, siano \( \displaystyle \mathcal F_1, \mathcal F_2 \colon \mathbf G \to \mathbf{Set} \) due azioni di gruppo (cfr. esercizio 0.2.5). Si dimostri che una trasformazione naturale \( \displaystyle \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \) è un morfismo di azioni.
    4. Siano \( \displaystyle \mathcal F, \mathcal G \colon \mathbf C \to \mathbf P \) due funtori verso un preordine pensato come categoria. Si dimostri che esiste una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \mathcal F \to \mathcal G \) se e solo se \( \displaystyle \mathcal F(c) \le \mathcal G(c) \) per ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) .
    5. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un'equivalenza di categorie, sia \( \displaystyle \mathcal G \) il suo quasi-inverso. Si considerino i funtori \( \displaystyle \hom_{\mathbf D}(\mathcal F-,-), \hom_{\mathbf C}(-,\mathcal G-) \colon \mathbf C^{\text{op}} \times \mathbf D \to \mathbf{Set} \) . Si dimostri che esiste una biezione naturale tra di essi. Si dimostri che la stessa cosa vale per i funtori \( \displaystyle \hom_{\mathbf D}(-,\mathcal F-), \hom_{\mathbf C}(\mathcal G-,-) \) .
    6. (Lemma di Yoneda) Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) un funtore. Si dimostri che per ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal F \) è univocamente determinata dalla scelta di un elemento \( \displaystyle x \in \mathcal F(c) \) . (Questo esercizio sarà comunque ripreso nella prossima sezione, ma è interessante svolgerlo per conto proprio).
Ultima modifica di maurer il 25/05/2012, 21:56, modificato 21 volte in totale.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda Leonardo89 » 07/02/2012, 11:52

maurer ha scritto:Come da accordi presi con Martino, provo ad imbarcarmi in questa piccola impresa.

Piccola! :-D A me sembra titanica!
maurer ha scritto:L'idea iniziale era di partire con una visione moderna del concetto di spazio affine, ma mi rendo conto guardandomi in giro che molti hanno difficoltà con gli strumenti tecnici più base dell'algebra commutativa, quali sono i prodotti tensoriali, le localizzazioni ecc.

Chiamali concetti di base! :shock:
maurer ha scritto:Pertanto, visto che senza familiarità con questi oggetti è impensabile anche solo iniziare a fare algebra commutativa seriamente, disporrò una prima sezione di richiami su queste costruzioni.

Infine, ancora due parole sull'organizzazione delle singole sezioni. Vorrei attenermi al seguente schema: ogni sezione sarà dedicata ad un argomento specifico e ne conterrà una breve trattazione teorica completa delle dimostrazioni più difficili o più significative. Di alcuni teoremi sarà omessa la dimostrazione; essi potranno essere trovati (predisporrò dei link) nella sezione Pensare un Po' di Più in un thread con lo stesso nome della sezione, insieme con altri esercizi teorici e pratici sull'argomento. La seconda parte di ogni sezione, invece, conterrà esempi pratici delle tecniche descritte, ossia un po' di esercizi "tipici" con soluzione dettagliata più qualche esempio che ritengo significativo.

Naturalmente ogni suggerimento, consiglio e segnalazione di errori sarà più che gradita!

Questo mese ho due esami di natura analitica e fisico matematica ma nel prossimo semestre dovrò studiare per il corso di geometria algebrica (e scrivere la tesi in algebra non commutativa (non mi sono scordato del problema sugli anelli primitivi, tranquillo)): il testo consigliato sono le dispense del prof che si basano quasi interamente sull'Undergraduate Algebraic Geometry di Reid. Io avevo pensato di integrare con l'Undergraduate Commutative Algebra dello stesso autore ma a questo punto perché non integrare con il tuo lavoro? ;)

Se andrai avanti sarò felice, nei limiti delle mie capacità e conoscenze, di farti da cavia. :lol:
Considera che, in quanto a conoscenze, parto da quasi zero (quasi zero in relazione a te) anche a causa della marcata tendenza verso l'analisi della mia facoltà, quindi non dare troppi concetti per scontati.
Tanto per capirci, dei due testi di Reid non so ancora niente in quanto il mio corso di algebra 3 è stata un'introduzione alla teoria algebrica dei numeri.

In bocca al lupo! :D
Se altri non facessero altro che riflettere sulle verità matematiche così in profondo e con continuità come ho fatto io, farebbero le mie scoperte.
K.F. Gauss
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 07/02/2012, 17:58

A costo di sembrare pedante (e dopo anni che non torno su questo forum: quando ho cominciato ero ben piu' pischello di te e facevo domande vergognosamente piu' semplici!), faccio pubblicamente alcune osservazioni sulla parte 0.1:

Una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) è il dato di: una collezione di oggetti, denotata \( \displaystyle \text{Obj}(\mathbf C) \) e una famiglia di frecce, denotata \( \displaystyle \text{Ar}(\mathbf C) \) e un'operazione di composizione.

Ti complichi un po' la vita, e soprattutto taci sul fatto che non e' una vera e propria operazione, perche' non e' una funzione globale: infatti poi sei obbligato a precisare che prendi solo le frecce componibili:
Sia \( \displaystyle S = \{(f,g) \mid f,g \in \text{Ar}(\mathbf C), \text{cod}(f) = \text{dom}(f)\} \) l'insieme delle frecce componibili. Allora è assegnata un'operazione \( \displaystyle -\circ- \colon S \to \text{Ar}(\mathbf C) \) , detta composizione tale che

Senza contare il fatto che dimentichi che per ogni tripla di oggetti c'e' una distinta operazione di composizione. Io personalmente propendo (e propongo) di dire che la composizione e' definita come una corrispondenza \( \displaystyle Ar(\mathbf C)\times_{Obj(\mathbf C)} Ar(\mathbf C)\to Ar(\mathbf C) \) (il prodotto fibrato e' fatto rispetto alla coppia soruce-target \( \displaystyle Ar(\mathbf C)\to Obj(\mathbf C) \) ).

Una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) è detta piccola se \( \displaystyle \text{Obj}(\mathbf C) \) è un insieme e non una classe.

Solitamente (sposando l'assiomatica NBG) si preferisce definire "piccola" una categoria tale che la classe delle frecce sia un insieme: converrai con me che questa definizione implica la vecchia.

\( \displaystyle g \) è epi se è cancellabile a destra, ossia se \( \displaystyle gf = hf \) allora \( \displaystyle g = h \) ;

Questa in realta' e' solo una delle possibili definizioni di epimorfismo, la piu' debole: per il lemma di Yoneda questo equivale a chiedere che \( \displaystyle \hom(f,x) \) sia un monomorfismo per ogni \( \displaystyle x\in Obj(\mathbf C) \) (e visto che si tratta di una funzione tra insiemi sappiamo che vuol dire semplicemente che e' iniettiva). Se ti interessano applicazioni alla geometria algebrica pero' dovresti essere al corrente che proprio Grothendieck (in SGA3, non ricordo di preciso dove) ne ha dovute introdurre altre: un morfismo \( \displaystyle f\colon a\to b \) si dice epi universale se per ogni \( \displaystyle v\colon b\to b' \) esiste \( \displaystyle a\times_b b' \) e la proiezione su \( \displaystyle b' \) sia un epimorfismo (nella tua accezione).
Ancora, un morfismo si dice epi effettivo se esiste \( \displaystyle a\times_b a \) (il prodotto fibrato e' di f con se' stesso), e in piu' \( \displaystyle f\cong \text{coker}(p_1,p_2\colon a\times_b a\rightrightarrows a) \) . Un epi effettivo universale invece e' tale che per ogni \( \displaystyle v\colon b\to b' \) esiste \( \displaystyle a\times_b b' \) e la proiezione \( \displaystyle p_f\colon a\times_b b'\to b' \) e' un epi effettivo. Si puo' dimostrare (vi invito a farlo) che

    \xymatrix{EEU \ar[d] \ar[r] & EU \ar[d] \\EE \ar[r] & E}
(le frecce sono implicazioni).

Tutte le categorie con cui lavoreremo saranno localmente piccole.

Questa invece e' una leggerezza grave! Senza fissare un universo, ossia in NBG, la categoria dei funtori da una qualsiasi categoria grande non e' localmente piccola.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 07/02/2012, 18:10

Per il presente progetto non serve considerare categorie troppo grosse.

Ecco, non avevo visto questo avviso: beh, dipende cosa intendi con "troppo" grosse. La categoria degli schemi non e' certamente piccola (solito ragionamento, passando per il fatto che e' equivalente a \( \displaystyle \mathbf{CRing}^{op} \) ).
Anzi, quel che porto' Grothendieck a dare la definizione di topos furono esattamente dei problemi di stazza; e SGA4 e' stato scritto in quel modo (partendo dal cambiare (!) assiomatica, passando per l'insiemistica, etc) proprio per fare ordine sulla congerie di risultati folkloristici.

In ultima istanza quel che successe e' che Grothendieck e Verdier si accorsero che la topologia di Zariski non ha "abbastanza aperti" per dare una nozione sufficientemente buona di localizzazione. Se si sostituisce la topologia di Zariski con una topologia di Grothendieck, rendendo percio' \( \displaystyle \mathbf{Sch}/S \) un sito -detto sito di Zariski: i coverings sono i morfismi etale-, il problema si aggira, e d'altra parte bisogna accettare che la collezione di tutti i morfismi etale su uno schema non e' quasi mai un insieme, bensi' una classe. Ovviamente a Grothendieck questo ha solo fatto l'effetto di un sassolino nella scarpa. :D
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I fondamenti del linguaggio: basilari di categorie (II)

Messaggioda maurer » 12/02/2012, 15:03

0.5 Universali e Yoneda

Abbiamo definito la nozione di trasformazione naturale e spero di essere riuscito a comunicare almeno in parte quanto sia profonda e significativa. In questa sezione introdurrò un altro concetto di importanza capitale, quello di freccia universale. Vedremo che questo concetto è collegato indissolubilmente ad altri due concetti (elemento universale e funtore rappresentabile). Al cuore di questa equivalenza si trova il lemma di Yoneda, probabilmente uno dei risultati più profondi e più utilizzati di tutta la teoria delle categorie elementari. Noi stessi lo useremo tra un paio di capitoli, quando vorremo determinare quali sono le mappe giuste tra gli insiemi algebrici. Ogni cosa a suo tempo, però!

Come si è visto nell'esercizio 4. della sezione precedente se \xymatrix{ \mathbf C \ar@<0.5ex>[r]^{\mathcal{F}} & \mathbf D \ar@<0.5ex>[l]^{\mathcal G}  } è un'equivalenza di categorie, allora è possibile costruire un isomorfismo
\( \displaystyle \varphi_{c,d} \colon \hom_{\mathbf D}(d,\mathcal F(c)) \to \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d), c) \)
naturale in \( \displaystyle c \) e \( \displaystyle d \) . L'idea era che \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d),c) \cong \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d), \mathcal G \mathcal F(c)) \cong \hom_{\mathbf C}(d,\mathcal F(c)) \) . In generale, se si lascia cadere l'ipotesi di equivalenza non si ha più l'isomorfismo \( \displaystyle c \simeq \mathcal G \mathcal F(c) \) che serviva ad ottenere la precedente catena di biezioni. Ci si può chiedere, però, sotto quali condizioni l'isomorfismo \( \displaystyle \hom_{\mathbf D}(d, \mathcal F(c)) \to \hom_{\mathbf C}(\mathcal G(d),c) \) esiste. Innanzi tutto, questa domanda può essere formulata in due modi distinti: ci si può chiedere se esiste l'isomorfismo esiste per ogni \( \displaystyle d \in \mathbf D \) e ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) (problema globale) oppure se esiste per un determinato \( \displaystyle d \in \mathbf D \) fissato (problema locale). In questa sezione, affronteremo il problema locale, corrispondente all'idea di universale. Nella prossima sezione, invece, prenderemo di mira il problema globale, che corrisponde all'idea di aggiunzione.

Iniziamo la nostra indagine supponendo che esista l'isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \to \hom_\mathbf{C}(\mathcal G(d),-) \) . Innanzi tutto, visto che abbiamo intenzione di mantenere \( \displaystyle d \) fissato, la presenza di \( \displaystyle \mathcal G \) è del tutto superflua; l'unica informazione di cui abbiamo bisogno è di sapere che esiste un oggetto \( \displaystyle c = c_d \in \mathbf{C} \) ed un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \to \hom_\mathbf{C}(c,-) \) . Abbiamo una freccia particolare, \( \displaystyle u := \varphi_c^{-1}(1_c) \colon d \to \mathcal F(c) \) . Che proprietà ha questa freccia? Supponiamo di fissare un elemento \( \displaystyle c' \in \mathbf C \) e di scegliere una freccia \( \displaystyle v \colon d \to \mathcal F(c') \) . Allora \( \displaystyle f := \varphi_{c'}(v) \in \hom_{\mathbf C}(c,c') \) ed inoltre \( \displaystyle \mathcal F(f) \circ u = \mathcal F(f) \circ \varphi_c^{-1}(1_c) = \varphi_{c'}^{-1}(f) = v \) (avendo sfruttato la naturalità di \( \displaystyle \varphi^{-1} \) ). Inoltre la freccia \( \displaystyle f \) è univocamente determinata dalla richiesta \( \displaystyle \mathcal F(f) \circ u = v \) . La situazione è rappresentata dal seguente diagramma:
\xymatrix{ c \ar@{.>}[d]^-{\exists ! f} & d \ar[r]^u \ar[dr]_-{v} & \mathcal F(c) \ar@{.>}[d]^-{\mathcal F(f)} \\ c^\prime & & \mathcal F(c^\prime) }
La freccia \( \displaystyle u \) ha quindi una proprietà di universalità: ogni altra freccia "dello stesso tipo" fattorizza attraverso di essa. Questa particolare proprietà è molto importante; possiamo descriverla meglio osservando che a godere di questa "universalità" non è semplicemente la freccia \( \displaystyle u \) , bensì la coppia oggetto \( \displaystyle c \) - freccia \( \displaystyle u \) . Possiamo codificare questa coppia in un elemento della comma categoria \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) . L'universalità si può riesprimere dicendo che per ogni oggetto \( \displaystyle (c',v) \in (d \downarrow \mathcal F) \) esiste un'unica freccia \( \displaystyle (1_d,f) \colon (c,u) \to (c',v) \) , ossia dicendo che \( \displaystyle (c,u) \) è un oggetto iniziale di \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) . La descrizione è completa, perché se \( \displaystyle (c,u) \) è iniziale in quella categoria, allora la proprietà è soddisfatta. Pertanto diamo la seguente definizione:

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore e \( \displaystyle d \in \mathbf D \) un elemento qualsiasi. Una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) è un oggetto iniziale della comma categoria \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) .

Nota. Essenzialmente per definizione, vediamo che una freccia universale, quando esiste, è unica a meno di un unico isomorfismo (cf. esercizio 0.1.8).

Supponiamo che \( \displaystyle (c,u) \) sia una freccia universale da \( \displaystyle d \in \mathbf D \) a \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . Definiamo, per ogni \( \displaystyle a \in \mathbf C \)
\( \displaystyle \varphi_a \colon \hom_{\mathbf C}(c,a) \to \hom_{\mathbf D}(d, \mathcal F(a)) \)
ponendo \( \displaystyle \varphi_a(f) := \mathcal F(f) \circ u \) . La definizione stessa di freccia universale fa sì che \( \displaystyle \varphi_a \) sia una biezione. D'altra parte, non è difficile verificare che \( \displaystyle \varphi_a \) è naturale in \( \displaystyle a \) :
\xymatrix{ a \ar[d]^{f} & \hom_{\mathbf C}(c,a) \ar[d]^{f_*} \ar[r]^-{\varphi_a} & \hom_{\mathbf D}(d,\mathcal F(a)) \ar[d]^{(\mathcal Ff)_*} \\ b & \hom_\mathbf{C}(c,b) \ar[r]^-{\varphi_b} & \hom_{\mathbf D}(d, \mathcal F(a)) }
ora per ogni \( \displaystyle g \colon c \to a \) abbiamo \( \displaystyle ((Ff)_* \circ \varphi_a)(g) = (Ff)_*(\mathcal F(g) \circ u) = \mathcal Ff \circ \mathcal F(g) \circ u = \mathcal F(f \circ g) \circ u = \varphi_b(f_*(g)) = (\varphi_b \circ f_*)(g) \) e quindi il precedente diagramma commuta. Di conseguenza, abbiamo trovato un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_\mathbf{C}(c,-) \to \hom_{\mathbf D}(d,\mathcal F-) \) .

Possiamo anche in questo caso dare una definizione che colga l'essenza di quello che abbiamo fatto:

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è detto rappresentabile se esiste un elemento \( \displaystyle c \in \mathbf C \) ed un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) . In tal caso \( \displaystyle c \) viene detto rappresentante di \( \displaystyle \mathcal K \) .

Possiamo quindi riassumere tutto il discorso precedente in un'unica proposizione:

Proposizione 1. Sia \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un funtore qualsiasi (con \( \displaystyle \mathbf D \) localmente piccola). Allora fissato \( \displaystyle d \in \mathbf D \) , esiste una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) se e solo se il funtore \( \displaystyle \mathcal K := \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F-) \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è rappresentabile. In tal caso, se \( \displaystyle (c,u) \) è una freccia universale, allora il rappresentante di \( \displaystyle \mathcal K \) è \( \displaystyle c \) e l'isomorfismo \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) è definito da \( \displaystyle \varphi(f) := \mathcal F(f) \circ u \) . Viceversa, se è assegnato \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) , allora la freccia universale è \( \displaystyle (c,u) \) dove \( \displaystyle u = \varphi_c(1_c) \) .

Questa proposizione, o meglio, la sua dimostrazione, contiene l'idea fondamentale che sta alla base del Lemma di Yoneda. Tuttavia, prima di iniziare a parlare del Lemma di Yoneda, sia opportuno introdurre un ultimo concetto e soffermarsi su qualche esempio.

Definizione. Sia \( \displaystyle \mathbf C \) una categoria. Un elemento universale per un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è una freccia universale da \( \displaystyle \{*\} \) a \( \displaystyle \mathcal K \) .

Chiaramente un elemento universale per il funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) può essere visto come una coppia \( \displaystyle (c,x) \) dove \( \displaystyle x \in \mathcal K(c) \) . E' chiaro che un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) è rappresentabile se e solo se ha un elemento universale: se il funtore ha un elemento universale, allora basta applicare la precedente proposizione, osservando banalmente che \( \displaystyle \hom_{\mathbf{Set}}(\{*\},\mathcal K-) \) è isomorfo come funtore a \( \displaystyle \mathcal K \) ; se invece il funtore è isomorfo a \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(c,-) \) tramite un isomorfismo naturale \( \displaystyle \varphi \) , allora \( \displaystyle \varphi_c(1_c) \in \mathcal K(c) \) può essere pensato come una freccia \( \displaystyle \{*\} \to \mathcal K(c) \) , e quindi non è difficile controllare che il funtore ammette elemento universale.

Esempi. Gli esempi di proprietà universali / funtori rappresentabili / elementi universali di certo non scarseggiano in matematica. Per ora propongo due esempi che ritengo particolarmente significativi. Nel seguito, avremo modo di incontrare un sacco di ulteriori esempi: ancora in questo capitolo, vedremo i concetti di limite e colimite. Nel seguito, poi, incontreremo tantissimi esempi di funtori rappresentabili: primo fra tutti, il funtore "insieme algebrico".
    1. Proprietà universale del quoziente. Si fissi un insieme \( \displaystyle A \in \mathbf{Set} \) con una relazione di equivalenza \( \displaystyle \rho \) su \( \displaystyle A \) . Si consideri il funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Set} \) definito sugli oggetti ponendo \( \displaystyle \mathcal F (B) := \{f \colon A \to B \mid x \rho y \rightarrow f(x) = f(y)\} \) , l'insieme delle funzioni che rispettano la relazione di equivalenza \( \displaystyle \rho \) ; l'azione sulle frecce è definita per composizione a sinistra, esattamente come per \( \displaystyle \hom_{\mathbf{Set}}(A,-) \) . La coppia \( \displaystyle (A/\rho,\pi) \) , dove \( \displaystyle \pi \colon A \to A / \rho \) è la proiezione canonica, è allora un elemento universale per \( \displaystyle \mathcal F \) . Infatti, per ogni insieme \( \displaystyle B \) ed ogni scelta di un elemento \( \displaystyle f \in \mathcal F(B) \) , esiste un unico modo di definire \( \displaystyle \overline{f} \colon A / \rho \to B \) in modo che il diagramma
    \xymatrix{ A / \rho \ar@{.>}[d]^{\exists ! \overline{f}} & \{*\} \ar[r]^{\pi} \ar[dr]^f & \mathcal F(A / \rho) \ar[d]^{\mathcal F(\overline{f})} \\ B & & \mathcal F(B) }
    che concretamente significa richiedere la commutatività di
    \xymatrix{ A \ar[d]^{\pi} \ar[r]^{f} & B \\ A / \rho \ar[ur]_{\overline{f}} }
    Pertanto la teoria sviluppata ci garantisce immediatamente che il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) è rappresentabile; in particolare, \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf Set}(A / \rho, -) \to \mathcal F \) , \( \displaystyle \varphi(f) = f \circ \pi \) è l'isomorfismo. Come esercizio, il lettore può generalizzare questa proprietà universale ad altre categorie, prime fra tutte \( \displaystyle \mathbf{Grp} \) , \( \displaystyle \mathbf{Top} \) .
    2. Proprietà universale dei gruppi ciclici. (consiglio la lettura attenta di quest'esempio perché può essere d'aiuto per la comprensione di Yoneda). Per ogni \( \displaystyle n \in \mathbb N \cup \{\infty\} \) si definisca il funtore \( \displaystyle \mathcal U_n \colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} \) definito da \( \displaystyle \mathcal U_n(G) := \{x \in G \mid x^n = 1_G\} \) se \( \displaystyle n < \infty \) , mentre \( \displaystyle \mathcal U_\infty(G) := G \) . L'azione sulle mappe è quella naturale. Allora questo funtore ha un elemento universale: \( \displaystyle (C_n,g) \) dove \( \displaystyle C_n \) è il gruppo ciclico con \( \displaystyle n \) elementi (se \( \displaystyle n < \infty \) , e \( \displaystyle \mathbb Z \) se \( \displaystyle n = \infty \) ) e \( \displaystyle g \) è un suo generatore. Controlliamo che sia verificata la proprietà universale:
    \xymatrix{ C_n \ar@{.>}[d]^{\exists ! f} & \{*\} \ar[r]^-{g} \ar[dr]^{x} & C_n = \mathcal U_n(C_n) \ar@{.>}[d]^{f} \\ G & & \mathcal U_n(G) }
    Scegliere una freccia \( \displaystyle \{*\} \to \mathcal U_n(G) \) equivale a scegliere un elemento \( \displaystyle x \in \mathcal U_n(G) \) ; questo è un elemento tale che \( \displaystyle x^n = 1_G \) , quindi sappiamo che esiste un unico morfismo di gruppi \( \displaystyle C_n \to G \) soddisfacente \( \displaystyle f(g) = x \) .

Possiamo finalmente iniziare ad occuparci del lemma di Yoneda. Abbiamo visto nella Proposizione 1 che l'isomorfismo \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(c,-) \to \mathcal K \) è completamente determinato dalla freccia \( \displaystyle u = \varphi_c(1_c) \colon d \to \mathcal F(c) \) , nel senso che sussiste l'uguaglianza \( \displaystyle \varphi_{c'}(f) = \mathcal F(f) \circ u \) . Questa è l'idea fondamentale del lemma di Yoneda, che si occupa di determinare le trasformazioni naturali da un funtore rappresentabile ad un funtore qualsiasi.
Per semplificare le notazioni, fissata una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) introduciamo il funtore \( \displaystyle Y \colon \mathbf C \to \mathbf{Set}^{\mathbf C^{\text{op}}} \) , \( \displaystyle Y(c) := \hom_\mathbf{C}(c,-) \) .

Lemma di Yoneda. Fissata una categoria \( \displaystyle \mathbf C \) , un oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) ed un funtore \( \displaystyle \mathcal K \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) esiste una biezione
\( \displaystyle y \colon \text{Nat}(Y(c),\mathcal K) \cong \mathcal K(c) \)
che manda una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \colon Y(c) \to \mathcal K \) in \( \displaystyle \varphi_c(1_c) \) .
Dimostrazione. Definiamo \( \displaystyle y(\varphi) := \varphi_c(1_c) \) . Fissato un elemento \( \displaystyle x \in \mathcal K(c) \) , si vuole definire una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi \) tale che \( \displaystyle y(\varphi) = x \) . Abbiamo pertanto due richieste che devono essere soddisfatte: \( \displaystyle \varphi_c(1_c) = x \) ed inoltre la naturalità impone
\xymatrix { c \ar[d]^f & \hom_\mathbf{C}(c,c) \ar[d]^{f_*} \ar[r]^-{\varphi_c} & \mathcal K(c) \ar[d]^{\mathcal K(f)} \\ d & \hom_\mathbf{C}( c,d) \ar[r]^-{\varphi_d} & \mathcal K(d) }
Pertanto, otteniamo la richiesta: \( \displaystyle \varphi_d \circ f_* = \mathcal K(f) \circ \varphi_c \) ; in particolare, valutando questa in \( \displaystyle 1_c \) otteniamo che necessariamente \( \displaystyle \varphi_d(f) = \mathcal K(f) (\varphi_c(1_c) = \mathcal K(f)(x) \) . Questa è pertanto la nostra definizione di \( \displaystyle \varphi \) ; non è difficile controllare la naturalità:
\xymatrix{ d \ar[d]^{f} & \hom_\mathbf{C}(c,d) \ar[d]^{f_*} \ar[r]^-{\varphi_d} & \mathcal K(d) \ar[d]^{\mathcal K(f)} \\ d^\prime & \hom_{\mathbf C}(c,d^\prime) \ar[r]^-{\varphi_{d^\prime}} & \mathcal K(d^\prime) }
Evidentemente \( \displaystyle (\mathcal K(f) \circ \varphi_d)(g) = \mathcal K(f)(\mathcal K(g)(x)) = \mathcal K(f \circ g)(x) = \varphi_{d'}(f \circ g) = \varphi_{d'}(f_*(g)) = (\varphi_{d'} \circ f_*)(g) \) , e questo conclude la prova. []

Nota. Se si introduce il funtore di valutazione, \( \displaystyle E \colon \mathbf C \times \mathbf{Set}^{\mathbf C} \to \mathbf{Set} \) , definito da \( \displaystyle E(c,\mathcal K) = \mathcal K(c) \) sugli oggetti e \( \displaystyle E(f, \mathcal K) = \mathcal K(f) \) , \( \displaystyle E(c, \varphi) = \varphi_c \) , allora si può riformulare il lemma di Yoneda dicendo che \( \displaystyle (Y(c),1_c) \) è un elemento universale per \( \displaystyle E(c,-) \colon \mathbf C \to \mathbf{Set} \) .
Nota. Si osservi che \( \displaystyle \text{Nat}, E \) sono due funtori definiti da \( \displaystyle \mathbf C \times \mathbf C^{\mathbf{Set}} \) a valori in \( \displaystyle \mathbf{Set} \) . La biezione \( \displaystyle y = y_{c, \mathcal K} \) costruita nel lemma di Yoneda allora risulta essere una trasformazione naturale tra questi due bifuntori. I dettagli sono lasciati per esercizio.

Concludo con qualche considerazione aggiuntiva sul concetto di universale.

Nota importante. Quello che segue è un discorso puramente informale: non datevi troppa pena se non capite tutto quello che ho scritto; inoltre, si tratta più che altro la mia visione delle cose (non l'ho mai trovata da nessuna parte detta in questi termini, ma è un punto di vista che trovo particolarmente illuminante; naturalmente sono apertissimo a critiche e discussioni in merito). Nutro, in effetti, l'ingenua speranza che il seguente discorso possa aiutare a comprendere meglio la nozione di proprietà  universale prima e di aggiunzione poi. Io ho impiegato diversi mesi per dare forma concreta a queste elucubrazioni, ma adesso tutto mi appare effettivamente più chiaro.

Nella sezione precedente abbiamo parlato di universalità , cui mi sono riferito come "problema locale". Vorrei adesso provare a spiegare un po' meglio che cosa intendo: provate a pensare un "problema" semplicemente come ad un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . La "soluzione al problema" dovrebbe essere qualcosa che "inverta" in qualche senso il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) ; bisogna discutere sul significato da dare alla parola "invertire". Da un lato, si sarebbe forse tentati di chiedere un'equivalenza, ma in realtà  è una richiesta troppo forte. Come abbiamo visto in dettaglio (ma vedi anche l'ultimo paragrafo di questo discorso) nella sezione precedente, una richiesta ragionevole è che esista un funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) tale da avere una biezione naturale \( \displaystyle \hom_\mathbf{D}(d,\mathcal F(c)) \cong \hom_\mathbf{C}(\mathcal G(d), c) \) (potremmo chiamare questo concetto in modo informale, proprietà  di "debole inversione").
Il problema è formulato globalmente se si richiede che il funtore \( \displaystyle \mathcal G \) sia definito su tutta la categoria \( \displaystyle \mathbf D \) . Il problema è formulato localmente se ci si accontenta di invertire il funtore \( \displaystyle \mathcal F \) "nell'intorno" di un punto. Ora, bisognerebbe discutere sulla nozione di intorno di un punto. E' più che ragionevole [1] pensare alla comma categoria \( \displaystyle (x \downarrow \mathbf C) \) come ad una "localizzazione" ad \( \displaystyle x \) . Seguendo sostanzialmente l'idea di crivello [2], possiamo allora pensare agli intorni di \( \displaystyle x \) come alle comma categorie della forma \( \displaystyle (x \downarrow \mathcal G) \) per qualche funtore \( \displaystyle \mathcal G \) . Dire che \( \displaystyle (c,u) \) è una freccia universale da \( \displaystyle d \) a \( \displaystyle \mathcal F \) è equivalente a dire che il funtore dimenticante da \( \displaystyle (\mathcal F(c) \downarrow \mathcal F) \) a \( \displaystyle (d \downarrow \mathcal F) \) è pieno e fedele e (debolmente) invertibile. Ora, se in più richiediamo che il funtore indotto da \( \displaystyle \mathcal F \) a \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) sia pieno e fedele, otteniamo effettivamente che \( \displaystyle \mathcal F \) è "debolmente invertibile nell'intorno di \( \displaystyle d \) " [3].
La parte delicata, in tutto questo discorso, è trovare la giusta nozione di "inversione (debole)". Qual è il vero significato di quella biezione sugli hom-sets? Qui, di nuovo, posso soltanto raccontarvi come io percepisco queste cose. Iniziamo a farci una domanda molto semplice: "cosa vuol dire invertire?". Il problema di invertire una mappa, così com'è classicamente inteso, è un po' troppo rigido: tantissime mappe interessanti non sono invertibili. Possiamo allora indebolire questo concetto, in questo modo: "un'inversione è la migliore approssimazione (canonica) al problema". In altre parole, se la mappa è invertibile in senso classico, vorremo ottenere esattamente l'inverso; altrimenti, ci accontentiamo di un'approssimazione, a patto, però, che sia la migliore possibile. Qui si apre un bivio: l'approssimazione deve essere fatta "per eccesso" o "per difetto"? Ecco, dal mio punto di vista, le frecce universali vanno pensate tenendo sempre a mente queste idee. Faccio qualche esempio concreto per mostrare che queste idee non sono, alla fine, tanto bislacche quanto appaiono.
Esempi.
    1. Si consideri il funtore dimenticante \( \displaystyle \mathcal U \colon \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set} \) e si fissi un insieme \( \displaystyle X \in \mathbf{Set} \) . Il problema presentato dal funtore \( \displaystyle \mathcal U \) nell'intorno di \( \displaystyle X \) è: riesco ad associare ad \( \displaystyle X \) struttura di gruppo in modo sufficientemente canonico? La costruzione del gruppo libero su \( \displaystyle X \) , insieme con la mappa naturale di "inserimento dei generatori" \( \displaystyle X \to \mathbf{Z}^{(X)} \) , produce esattamente la soluzione a questo problema. Come vedete, è importante chiedere la canonicità : è vero, infatti, che ogni insieme può essere dotato di struttura di gruppo. Tuttavia, questo comporta delle scelte (infatti, è equivalente all'assioma della scelta) e non è un procedimento canonico. In particolare, cade la proprietà  sulle mappe. Dal punto di vista categoriale, questo è l'approccio sbagliato al problema [4].
    2. Si considerino i poset \( \displaystyle (\mathbb Z, \le) \) e \( \displaystyle (\mathbb R, \le) \) , con gli ordini naturali e li si rivedano come categorie. Sia poi \( \displaystyle \mathcal J \colon (\mathbb Z, \le) \to (\mathbb R, \le) \) il funtore di inclusione. Se \( \displaystyle x \in \mathbb R \) , allora è facile rendersi conto che \( \displaystyle \lceil x \rceil \) determina esattamente la freccia universale da \( \displaystyle x \) a \( \displaystyle \mathcal J \) . In quest'esempio si vede in modo piuttosto evidente (ancorché sia un esempio quasi stupido) come effettivamente l'universalità  risponda ad un problema di approssimazione (in senso molto concreto).

[1] Le principali ragioni (che conosco io) sono da cercarsi nelle multicategorie e nelle topologie di Grothendieck per una categoria. Non entro nel merito sia perché non ho una padronanza sufficiente dell'argomento per poterlo spiegare, sia perché questo mi porterebbe decisamente troppo lontano dall'argomento attuale.
[2] Per chi sa di cosa sto parlando: se sostituiamo ad \( \displaystyle x \) il funtore rappresentabile \( \displaystyle \hom(-,x) \) un crivello diventa un sottofuntore di \( \displaystyle \hom(-,x) \) . Dato un funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf A \to \mathbf C \) , la categoria \( \displaystyle (\mathcal G \downarrow x) \) può essere facilmente completata ad un crivello su \( \displaystyle x \) , diciamo \( \displaystyle S \) . Viceversa, ogni crivello \( \displaystyle S \) su \( \displaystyle x \) determina in modo naturale una sottocategoria piena di \( \displaystyle (\mathbf C \downarrow x) \) ed il funtore di inclusione produce una categoria della forma \( \displaystyle (\mathcal G \downarrow x) \) (il cui crivello associato è proprio \( \displaystyle S \) ).
[3] Ho fatto trenta, faccio trentuno. Ribadisco ancora una volta che questa è la mia visione delle cose e non rivendico nessuna pretesa di correttezza. Per motivi analoghi a quelli accennati nella nota [1], viene abbastanza naturale pensare alla comma categoria \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) come alla "categorie tangente" alla categoria \( \displaystyle \mathbf C \) nel punto \( \displaystyle c \) . Ora, chiedere che, dato un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) , il funtore indotto su \( \displaystyle (c \downarrow \mathbf C) \) sia pienamente fedele ricorda alla lontana il fatto che l'applicazione lineare tangente sia un isomorfismo (vedendo gli spazi vettoriali come categorie con un solo oggetto, ad esempio, cosicché pieno e fedele diventa sinonimo di equivalenza). Pertanto questa richiesta ricorda "da vicino" la richiesta che lo jacobiano di una funzione differenziabile sia non nullo. In un certo senso, quindi, questa è una categorificazione del teorema del Dini.
[4] Ognuno è libero di pensare ciò che vuole; io personalmente sono stato sopraffatto dallo sconcertante numero di casi in cui formulare un problema in termini categoriali aiuta a comprendere meglio il problema stesso e facilita (di conseguenza) la sua soluzione. Sono diventato quindi decisamente incline ad identificare tout-court il modo "giusto" con il modo "categoriale". Questa è la mia posizione (un po' estremista, forse). Invito però a rispettare questa mia opinione, almeno fin quando non si sia lavorato per un bel po' di tempo con le categorie (applicate ad altri rami della matematica).

0.6 Aggiunzioni

Ora che abbiamo introdotto il concetto di problema locale e lo abbiamo analizzato abbastanza a fondo, possiamo tornare a considerare il problema globale. Abbiamo già  speso abbondanti parole in merito. Riassumendo, i dati del problema sono un funtore \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) ; vogliamo capire quando esiste un altro funtore \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) con la proprietà  che si abbia la seguente biezione naturale:
\( \displaystyle \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(c), d) \cong \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G(d)) \)
(cambio notazioni rispetto al paragrafo precedente per allinearmi con la letteratura in merito).
Ora, procedendo ancora a livello informale, uno si aspetta (giustamente) che una soluzione globale induca una soluzione locale per ogni punto: questo è il primo fatto che dimostreremo. D'altra parte è ragionevole chiedersi: se ogni problema locale ha soluzione, riesco a "incollare" queste soluzioni per produrre un'unica soluzione globale? In questo caso, la risposta è (e io trovo questo fatto decisamente stupefacente!).

Veniamo al sodo, finalmente.

Definizione. Siano \( \displaystyle \mathbf C \) , \( \displaystyle \mathbf D \) due categorie. Si dice che una coppia di funtori \( \displaystyle \mathcal F \colon \mathbf C \to \mathbf D \) e \( \displaystyle \mathcal G \colon \mathbf D \to \mathbf C \) determina una situazione aggiunta \( \displaystyle \mathcal F \dashv \mathcal G \) se è data una biezione
\( \displaystyle \varphi_{c,d} \colon \hom_\mathbf{C}(c, \mathcal G(d)) \cong \hom_{\mathbf D}(\mathcal F(c), d) \)
che sia naturale in \( \displaystyle c,d \) . In questo caso diciamo che \( \displaystyle \mathcal F \) è aggiunto sinistro di \( \displaystyle \mathcal G \) e che \( \displaystyle \mathcal G \) è aggiunto destro di \( \displaystyle \mathcal F \) . Rappresenteremo una situazione aggiunta mediante la scrittura \( \displaystyle (\mathcal F, \mathcal G) \colon \mathbf C \to \mathbf D \) . [1]

[... da aggiungersi la descrizione della naturalità  ...]

Proposizione 1. Sia \( \displaystyle (\mathcal F, \mathcal G) \colon \mathbf C \to \mathbf D \) un'aggiunzione. Allora esiste una trasformazione naturale \( \displaystyle \eta \colon \text{Id}_\mathbf{C} \to \mathcal G \mathcal F \) tale che per ogni \( \displaystyle c \in \mathbf C \) la coppia \( \displaystyle (\mathcal F(c), \eta_c) \) sia una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) .
Dimostrazione. Abbiamo visto (sezione 0.5, Proposizione 1) che esiste una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) se e solo se il funtore \( \displaystyle \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G-) \) è rappresentabile. Nel nostro caso, la biezione naturale \( \displaystyle \varphi \colon \hom_{\mathbf C}(-,\mathcal G-) \to \hom_{\mathbf D}(\mathcal F -, -) \) induce una trasformazione naturale \( \displaystyle \varphi_{c, \cdot} \colon \hom_{\mathbf C}(c, \mathcal G -) \to \hom_\mathbf{D}(\mathcal F(c), -) \) . Pertanto sappiamo che, ponendo \( \displaystyle \eta_c := \varphi_{c,\mathcal F(c)}^{-1}(1_{\mathcal F(c)}) \) , la coppia \( \displaystyle (\mathcal F(c), \eta_c) \) è una freccia universale da \( \displaystyle c \) a \( \displaystyle \mathcal G \) .
Dobbiamo quindi solo controllare che le frecce \( \displaystyle \{\eta_c\}_{c \in \mathbf C} \) siano le componenti di una trasformazione naturale. Sia \( \displaystyle f \colon c_1 \to c_2 \) una freccia in \( \displaystyle \mathbf C \) . Dobbiamo controllare la commutatività  del seguente diagramma:
[;\xymatrix { c_1 \ar[r]^-{\eta_{c_1}} \ar[d]^{f} & \mathcal G \mathcal F(c_1) \ar[d]^{\mathcal G \mathcal F(f)} \\ c_2 \ar[r]^-{\eta_{c_2}} & \mathcal G \mathcal F(c_2) };]
Ora:
\( \displaystyle \mathcal G \mathcal F(f) \circ \eta_{c_1} = \mathcal G \mathcal F(f) \circ \varphi_{c_1, \mathcal F(c_1)}^{-1} (1_{\mathcal F(c_1)}) = \varphi_{c_1, \mathcal F(c_2)}^{-1}(\mathcal F(f) \circ 1_{\mathcal F(c_1)}) \)
\( \displaystyle = \varphi_{c_1, \mathcal F(c_2)}^{-1} (1_{\mathcal F(c_2)} \circ \mathcal F(f)) = \varphi_{c_2, \mathcal F(c_2)}^{-1}(1_{\mathcal F(c_2)}) \circ f = \eta_{c_2} \circ f \)
il che conclude la prova. []

[1] Non è un caso! In effetti, si può costruire una categoria i cui oggetti sono le categorie e le cui frecce sono le aggiunzioni. Questo però, anche se perfettamente naturale e per nulla difficile, esula dai presenti scopi. Rimando alla lettura del CWM di Maclane.
Ultima modifica di maurer il 13/04/2012, 23:44, modificato 4 volte in totale.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda Thomas » 13/04/2012, 11:48

E' un peccato che maurer si sia fermato al 12 di Febbraio... stavo aspettando che scrivesse perlomeno i primi due capitoli prima di cominciare a leggere :-D
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda Leonardo89 » 13/04/2012, 12:20

Thomas ha scritto:E' un peccato che maurer si sia fermato al 12 di Febbraio... stavo aspettando che scrivesse perlomeno i primi due capitoli prima di cominciare a leggere :-D

Io ho già cominciato (anche se per questioni universitarie sto andando colpevolmente a rilento) e trovo l'analogia tra trasformazioni naturali e omotopie semplicemente meravigliosa! :D
Maurer, non provare a demordere! ;)
Se altri non facessero altro che riflettere sulle verità matematiche così in profondo e con continuità come ho fatto io, farebbero le mie scoperte.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda maurer » 13/04/2012, 16:00

Scusatemi, scusatemi. E' che mi sono "piombati" sulla testa 3 seminari da preparare in tempo relativamente breve e mi stanno assorbendo quasi completamente. Appena sollevo la testa riprendo! (in realtà avevo già scritto pezzi dei capitoli successivi, ma aspettavo a pubblicarli per andare in ordine!)
Ho approfittato per aggiungere un pezzo sulle aggiunzioni.

Ah, Leonardo89: se ti è piaciuto il parallelo con l'omotopia, perché non provi a leggerti la dimostrazione che dà Peter May di Van Kampen usando i gruppoidi? Ti garantisco che è molto più comprensibile della formulazione classica! :wink: La trovi qui, a pagina 17.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 11:12

La trovi anche qui, tradotta per i mortali, con qualche disegno. ;)
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