Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 12:19

Ah, dimenticavo che sono qui perche' Mauro mi ha chiesto lumi sui suoi deliri. Non ci sei andato molto lontano in effetti, il fatto e' che (seguendo la definizione che ne da l'immancabile ncatlab) bisogna arricchire leggermente le overcategories.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 12:26

Ricordi tra l'altro quella caratterizzazione dei moduli come i monoidi nei gruppi abeliani interni ecc ecc.? Beh, vengono fuori cose carine: \( \displaystyle \mathbf{Mod}(R)\cong \text{Ab}(\mathbf{CRing}/R) \) =la categoria tangente in R a CRing. ;)

Btw la tesi di Herman Stel si trova qui http://igitur-archive.library.uu.nl/stu ... MA2010.pdf
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda maurer » 14/04/2012, 13:12

Sì, hai ragione. Ma non mi è chiara la ragione profonda del perché si debba abelianizzare il tutto... D'altra parte su ncatlab si dice che le categorie tangenti sono un'approssimazione 1-categoriale delle \( \displaystyle (\infty,1) \) -categorie tangenti, quindi voglio sperare che le \( \displaystyle (\infty,1) \) -categorie metteranno a posto tutti questi dettagli!
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 13:26

Sulla categoria tangente credo tu voglia una "struttura additiva": le categorie abeliane sono particolarmente well-behaved come ben sappiamo. E probabilmente c'e' anche la volonta' di avere risultati come quello sopra sui moduli, che una definizione come questa ti da quasi automaticamente... Le $(\infty,1)$-categorie sono per lo piu' un ambiente dove e' "tradizione" (dopo Lurie e HTT) mettere gli oggetti che si studiano: l'analogia e' duplice. Da una parte certe definizioni di "categorie ambiente" sono date apposta per lavorare in tranquillita' (gli spazi compattamente generati sono una categoria conveniente per fare topologia algebrica, i topoi sono una categoria conveniente per fare teoria degli insiemi, i cosmoi di Joyal e Street sono una categoria conveniente per fare teoria delle categorie, gli schemi lisci/noetheriani/etc una adatta per fare geometria...). D'altro canto, e' anche questione di mode: negli anni '50-60 tutto era fascio perche' c'era la prima scuola di Leray, Godement e altri, per non parlare di Grothendieck e dell'uso che ne ha fatto lui. Dopo (fino a meta' anni 70) tutto e' stato algebra omologica, e se non si riusciva ad associare una coomologia a qualche teoria geometrica non si era contenti. Poi e' arrivato il rebound del lavoro di Quillen in algebra omotopica, e le strutture modello sono diventate la Vera Via... ora e' il momento di HAGDAG e follie correlate, perche' si e' capito che probabilmente la risposta a "cos'e' quello che facciamo?" va cercata in strutture deboli opportune. Questo pensiero si incarna per esempio nella Mirror Simmetry di Kontsevich)
Ultima modifica di killing_buddha il 14/04/2012, 13:35, modificato 2 volte in totale.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda maurer » 14/04/2012, 13:33

killing_buddha ha scritto:Sulla categoria tangente credo tu voglia una "struttura additiva": le categorie abeliane sono particolarmente well-behaved come ben sappiamo.

Sì, anche questo è verissimo... Urgono riflessioni... potrei pinzarti in privato! :-D
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 13:33

Haha, non chiedo di meglio (occhio che ho editato: mi sembrava troppo strngato come commento)
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda Leonardo89 » 14/04/2012, 14:12

@Maurer & killing_buddha
Vi ringrazio molto delle referenze sul teorema di Van Kampen ma, per il momento, preferisco "limitarmi" a far da cavia a maurer per questo corso di geometria algebrica ed algebra commutativa: meglio non mettere troppa carne al fuoco, o si rischia di non concludere niente. ;)
Inoltre, il testo di May è decisamente al di sopra delle mie attuali possibilità, anche se, forse, potrei anche capire la traduzione per mortali, se mi ci mettessi.
Se altri non facessero altro che riflettere sulle verità matematiche così in profondo e con continuità come ho fatto io, farebbero le mie scoperte.
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda killing_buddha » 14/04/2012, 14:35

May e' un testo laconico ma davvero chiaro, se sposi una impostazione categoriale. Coadiuvati da un libro per smanettoni (come per esempio il Massey o il Rotman) si capisce davvero la materia. Comunque diciamo che e' pericoloso lasciarsene rapire troppo presto, pero' dopo una certa data (per esempio dopo avere studiato un po' delle coomologie principali) e' necessario a tirare le fila (a capire per esempio la formulazione assiomatica delle teorie coomologiche). Vabbe', non entro nel merito se no non mi fermo piu' e arrivo a consigliarti Zisman, Goerss-Jardine, Whitehead e Baues XD Se vuoi ne parliamo in privato, anche perche' qui ci azzecca poco.
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Re: I fondamenti del linguaggio: basilari di categorie (I)

Messaggioda Thomas » 14/04/2012, 20:49

maurer ha scritto:
Definizione. Sia \( \displaystyle S = \{(f,g) \mid f,g \in \text{Ar}(\mathbf C), \text{cod}(f) = \text{dom}(f)\} \) l'insieme delle frecce componibili. Allora è assegnata un'operazione \( \displaystyle -\circ- \colon S \to \text{Ar}(\mathbf C) \) , detta composizione tale che:
    1. per ogni oggetto \( \displaystyle c \in \mathbf C \) esiste una freccia \( \displaystyle 1_c \in \text{Ar}(\mathbf C) \) con \( \displaystyle \text{dom}(1_c) = \text{cod}(1_c) = c \) e tale che per ogni freccia \( \displaystyle f \colon b \to c \) e \( \displaystyle g \colon c \to d \) si abbia \( \displaystyle 1_c \circ f = f \) , \( \displaystyle g \circ 1_c = g \) ;
    2. date frecce \( \displaystyle a \stackrel{f}{\to} b \stackrel{g}{\to} c \stackrel{h}{\to} d \) si ha \( \displaystyle h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \) .


Già dalle prime righe la notazione non mi è chiara. S è un insieme di frecce o di coppie di frecce? La condizione è solo su f mi pare strano? E l'operazione che argomenti possiede su che insieme è?
Non credo che dovrei avere simili dubbi leggendo un testo di matematica
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Re: Algebra Commutativa & Geometria Algebrica: una panoramic

Messaggioda maurer » 14/04/2012, 21:08

La condizione non era solo su f, era un errore di scrittura, adesso ho editato.
\( \displaystyle S \) è un insieme di coppie di frecce, precisamente è il sottoinsieme del prodotto cartesiano \( \displaystyle \text{Ar}(\mathbf C) \times \text{Ar}(\mathbf C) \) soddisfacente quella condizione caratteristica (ma leggi anche l'intervento di killing_buddha seguente; non ho ancora sistemato tutto secondo i suoi consigli). La composizione puoi vederla semplicemente come una funzione su \( \displaystyle S \) . Il suo unico argomento è la coppia \( \displaystyle (f,g) \) (soddisfacente \( \displaystyle \text{cod}(f) = \text{dom}(g) \) ). Scriviamo \( \displaystyle g \circ f \) per semplificare le notazioni (ed aiutare un minimo l'intuizione).

Grazie per la collaborazione!
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