Algebrona

Messaggioda Valerio Capraro » 06/05/2006, 16:54

Dimostrare che se G è un gruppo privo di torsione (ogni elemento ha periodo infnito) tale che il suo gruppo degli automorfismi $Aut(G)$ è finito, allora G è abeliano.

Non so se si fa con strumenti elementari...
Valerio Capraro
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Messaggioda Valerio Capraro » 07/05/2006, 13:04

ci sta pensando qualcuno? aiutino? aiutone? soluzione?
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Messaggioda Valerio Capraro » 07/05/2006, 19:29

L'"esercizio" si banalizza alla luce del seguente:

teorema di Schur
Sia $G$ tale che l'indice del suo centro $Z(G)$ è finito, allora è finito anche il derivato.

Nel nostro caso, non avendosi sottogruppi finiti, basterà mostrare che il derivato è finito, e quindi è identico, e quindi G è abeliano. La tesi deriva allora dal fatto che $\infty>|Aut(G)|\leq|Int(G)|=|G/(Z(G))|$
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