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ha una soluzione di 3 righe:

Mostrare che $A_5$ è l'unico gruppo semplice di ordine $p^2qr$, con $p<q<r$ primi.

è un fatto noto che se $p$ è il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo semplice $G$, allora $12||G|$, oppure $p^3||G|$. Dunque nel nostro caso deve essere $p=2$e $q=3$. A tal punto $q$ deve essere tale che $n_r\equiv1(r)$ e $n_r|12$, dove al solito $n_r$ denota il numero degli r-Sylow. Da cui segue che $r=5$ e quindi $G$ ha ordine $60$, ma $A_5$ è l'unico gruppo semplice di ordine $60$ e quindi $G=A_5$.