Algebra

Sia G un gruppo finito per il quale esiste un suo automorfismo di ordine 2 che non fissa alcun punto di G. Mostrare che G è abeliano e di ordine dispari

sia $\sigma$ tale automorfismo, l'applicazione $f$ di $G$ in sè data da $f(x)=x^{-1}\sigma(x)$ è una biezione (si verifica l'iniettività in modo banale e la surjettività discende dal fatto che $G$ è finito. Dunque un elemento $x$ di $G$ può essere scritto nella forma $y^{-1}\sigma(y)$ da cui segue, con ovvi calcoli, che $\sigma(x)=x^{-1}$. Dunque $\sigma$ accoppia gli elementi a due a due, ciascuno col suo inverso, e, da tale accoppiamento resta esclusa l'identità, ne segue che $G$ ha ordine dispari. La commutatività discende dal fatto generale che la mappa che ad $x$ associa il suo inverso è un automorfismo sse $G$ è abeliano (ovvia verifica).