Ok, l'ho dimostrato, per lo meno nel caso di tuo interesse.
Allora:
Lemma. Sia \( \displaystyle \{C_1,\ldots,C_m\} \) una partizione minima di \( \displaystyle \mathcal P(I_n) \) fatta di catene. Poniamo \( \displaystyle U_k = \bigcup C_k \) (l'unione degli elementi di \( \displaystyle C_k \) ). Allora possiamo assumere che per ogni \( \displaystyle k = 1,\ldots,m \) , \( \displaystyle C_k \) sia una catena massimale di \( \displaystyle \mathcal P(I_n) \setminus (U_1 \cup \ldots \cup U_{k-1}) \) .
Dimostrazione. Supponiamo che \( \displaystyle C_k \) non sia una catena massimale di \( \displaystyle \mathcal P(I_n) \setminus (U_1 \cup \ldots \cup U_{k-1}) \) ; allora esiste una catena massimale \( \displaystyle C_k' \) in \( \displaystyle \mathcal P(I_n) \setminus (U_1 \cup \ldots \cup U_{k-1}) \) tale che \( \displaystyle C_k \subset C_k' \) . Questa nuova catena è ottenuta aggiungendo a \( \displaystyle C_k \) elementi che si trovano in \( \displaystyle C_h \) con \( \displaystyle h > k \) ; pertanto, togliendo questi elementi dalle rispettive catene, otteniamo una nuova partizione, e se \( \displaystyle m' \) denota il nuovo numero di elementi che formano questa partizione, abbiamo \( \displaystyle m' \le m \) , sicché segue la tesi per minimalità di \( \displaystyle m \) . []
A questo punto non dovrebbe essere difficile concludere. Di, nuovo però, non ho tempo immediato. Vi lascio a trarre le conclusioni da questo lemma.