Algebrina (=almeno forse qualcuno ci prova)

Mostrare che un gruppo di ordine $2m$ con $m$ dispari, ha un sottogruppo di ordine $m$

Sia $x$ l'elemento di ordine 2 di $G$ e si faccia agire $G$ per moltiplicazione destra sul suo insieme sostegno. L'omomorfismo da $G$ a $Sym_{2m}$ è iniettivo e quindi $G$ si immerge in $Sym_{2m}$, inoltre $G$, pensato dentro $Sym$ ha una permutazione dispari generata da $x$ (.....non lo dimostro....) e dunque $GA_{2m}=Sym_{2m}$. Dal terzo teorema di isomorfismo allora si ottiene $2=|(sym_{2m}/(A_{2m})|=|(GA_{2m}/(A_{2m})|=|G/(G\capA_{2m}| e dunque $G$ ha un sottogruppo di indice 2 e ordine m.