Inversi...

Messaggioda Valerio Capraro » 26/05/2006, 13:27

consideriamo un anello $A$ con unità $1$ e sia $a\inA$.
Molto spesso accade che se esiste un suo inverso destro $b$
(tale che $ab=1$), allora $b$ è anche un inverso sinistro(ovvero $ba=1$).
Ciò ad esempio accade per anelli finiti..
accade anche sull'anello delle matrici quadrate su un campo...
..
Accade sempre????

la risposta ve lo do io...
(non vorrei che qualcuno perdesse un mucchio di tempo a cercare di
dimostrare che è sempre vero)
dunque la risposta è NO.
Dov'è l'esercizio??
eccolo:

Esibire un esempio di anello in cui un elemento ha un inverso destro
che non è anche inverso sinistro.

Nota:
in letteratura gli anelli che verificano la proprietà che ogni inverso
destro è anche inverso sinistro sono detti "Dedekind-finite rings".
Valerio Capraro
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Messaggioda Valerio Capraro » 29/05/2006, 14:11

Sia $x_i$ una successione di indeterminate e $K$ un campo, consideriamo
lo spazio vettoriale $V=Kx_1\oplusKx_2\oplus...$, delle combinazioni lineari
delle indeterminate a coefficienti in $K$. E sia $A$ l'anello degli endomorfismi
di $V$.
Consideriamo i due endomorfismi $\varphi_1(x_i)=x_{i+1}$ e $\varphi_2(x_1)=0$
e $\varphi_2(x_i)=x_{i-1},\foralli\geq2$. dunque $\varphi_2$ inverte a destra $\varphi_1$
ma non a sinistra.
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Messaggioda miles_davis » 29/05/2006, 23:42

E' interessante la questione... Potresti spiegarla un po' più "lentamente"? Ti ringrazio.
Uno per tutti di certo fa tutti...
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Messaggioda Valerio Capraro » 30/05/2006, 13:18

lo faccio più tardi
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Messaggioda Valerio Capraro » 30/05/2006, 20:37

In realtà non so cosa intendi per "più lentamente"...
vediamo..
$V$ è uno spazio vettoriale con base numerabile ${x_i}$
e siamo d'accordo, spero..
gli endomorfismi di $V$ hanno una struttura naturale di
anello con la composizione e una somma definita puntualmente
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
La definizione di $\varphi_1$ e $\varphi_2$ spero sia chiara: il
primo trasla a destra la base il secondo la trasla a sinistra
(ricordo che un endomorfismo risulta determinato dalle immagini
dei vettori della base).
Andando a calcolare $\varphi_2°\varphi_1(x_i)=x_i$ e quindi tale
composizione dà l'identità in $End_V$. la composizione al contrario, però,
non dà l'identità in quanto $\varphi_1°\varphi_2(x_1)=0$.

spero che hai capito,
ciao
Valerio Capraro
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