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Per chi ha un pò di intuito...

28/05/2006, 17:22

Consideriamo il piano $R^2$ privato di $n$ punti distinti. Sia $X$ l'insieme così ottenuto.
Sia $x\inX$ fissato. Consideriamo l'insieme $\Omega(X,x)$ formato da tutti i cammini continui
che partono da $x$ e tornano in $x$. In $\Omega$ diciamo equivalenti due cammini se
si ottengono l'uno dall'altro mediante una deformazione continua. Sia ora $\pi_1(X)$ il quoziente
$(\Omega(X,x))/(\rho)$, dove $\rho$ è l'equivalenza appena definita. $\pi_1(X)$ è un gruppo rispetto
alla composizione di cammini (si fa prima uno e poi l'altro).

Bene...

1) (facile... molto intuitivo) determinare $\pi_1(X)$ per $n=1$

2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$

Nota:
chi sa un pò di topologia sa anche che il $\pi_1$ è un gruppo molto importante
associato ad uno spazio topologico connesso per archi. Esso è detto gruppo
fondamentale, o primo gruppo di omotopia.

28/05/2006, 18:57

Per salire di complessità, propongo anche di calcolare il gruppo fondamentale del toro reale di dimensione 2, ovvero la ciambella con un buco.

28/05/2006, 20:22

Il toro $T$ è a meno di omotopie (!?) dato dal prodotto cartesiano (topologico)
$S^1\timesS^1$. Tenendo conto che il
gruppo fondamentale di $S^1$ è * (non scrivo chi è per non mettere la soluzione del mio
per $n=1$), allora, tenendo anche conto che il gruppo fondamentale del prodotto è il prodotto
dei gruppi fondamentali, $\pi_1(T)=$*$\times$*.

p.s.
scusami Luca, ma credo che il mio, per $n$ generico sia un tantino più complesso...
non credi?

28/05/2006, 20:25

Luca.Lussardi ha scritto:Per salire di complessità, propongo anche di calcolare il gruppo fondamentale del toro reale di dimensione 2, ovvero la ciambella con un buco.


Io utilizzando i lacci ho ottenuto il gruppo $ZxZ$.

28/05/2006, 20:28

*=Z....

ermanno sono curioso di conoscere la tua soluzione per $n=1$
e già che ci sei sono anche curioso di sapere dove hai imparato
queste cose!

28/05/2006, 20:35

Se usi il Teorema certo che è facile, ma far saltar fuori a mano ZxZ non è così immediato.

28/05/2006, 20:44

già... sinceramente non so neanche se saprei farlo...
magari pensandoci...

28/05/2006, 20:55

In effetti forse per bene anche io avrei qualche problema... ma a occhio basta far girare il meridiano ed il parallelo, e dovrebbe uscire ZxZ...spesso la topologia algebrica è un gioco, almeno quella di base.

28/05/2006, 20:58

si infatti... mi sto divertendo un sacco a studiarla...

28/05/2006, 22:26

2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$

Dalla continuità di un cammino è chiaro che un cammino che gira una volta intorno a un punto non è omotopo a quello che gira due, tre.. volte intorno a tale punto. Però possiamo considerare tutti questi cammini generati da quello che gira una volta intorno ad un punto (infatti ciascuno di essi può essere ottenuto omotopicamente applicando tante volte quello che gira una volta sola). Per cui per n=1 si ha un gruppo infinito con un generatore e quindi Z. Ora, per n generico si fa lo stesso ragionamento, quindi si hanno n generatori. Una qualunque parola formata da tali n generatori descrive un cammino, e quindi si ha il gruppo libero ad n generatori.
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