Messaggioda Valerio Capraro » 28/05/2006, 22:57

ok... bravo!!
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Messaggioda Luca.Lussardi » 29/05/2006, 10:04

Mmm... qualcosa non mi torna: se io tolgo 2 punti $A$ e $B$ dal piano, ho i cammini che non girano attorno a nessun punto, quelli che girano solo attorno ad $A$, quelli che girano solo attorno a $B$, e quelli che girano attorno ad entrambi. Ora mi pare che non ci siano omotopie tra questi $4$ tipi di cammini, presi a due a due. Quindi, come fa a venire il gruppo libero generato da 2 elementi?

Forse ho detto delle sciocchezze... è un bel po' di tempo che non leggo nulla di Topologia algebrica.
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Messaggioda Valerio Capraro » 29/05/2006, 10:24

è vero che non sono omotopi, però possono essere costruiti a partire da opportuni
generatori. Prendiamo sempre il caso $n=2$ (piano meno due punti) allora io posso
prendere come generatori un cammino che gira intorno ad un punto e un cammino
che gira intorno all'altro punto.
A questo punto è vero che un cammino che gira intorno ad entrambi i punti non è
omotopo a nessuno dei generatori, ma è vero che lo posso costruire a meno di omotopie
applicando prima un generatore e poi l'altro. Analogamente il cammino che non
gira attorno a niente è omotopo al cammino che si ottiene facendo un generatore e poi il
suo inverso.

In generale i generatori saranno i cammini che girano una volta attorno ad un punto
mancante e quindi sono $n$. E un qualunque cammino si potrà scrivere come parola
in quest e $n$ lettere....
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Messaggioda Luca.Lussardi » 29/05/2006, 10:30

Geometricamente lo vedo, ma algebricamente no. Mi fai un esempio di gruppo libero generato da 2 elementi?
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Messaggioda Luca.Lussardi » 29/05/2006, 10:42

Ok, non mi serve, bastava notare che il piano meno 2 punti, lo stringo prima in due triangoli disgiunti che contengono ciascuno i due punti, e che hanno un vertice in comune, poi buco i triangoli e allargo, ottenendo dunque due circonferenze, quindi il piano meno 2 punti è omotopicamente equivalente a due circonferenze che partono da uno stesso punto. Da cui la classe di omologia voluta. Grazie comunque.
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Messaggioda Valerio Capraro » 29/05/2006, 10:45

siano $a,b$ due generatori il gruppo libero su $a$ e $b$ ha come
insieme sostegno l'insieme di tutte le parole
con lettere $a,b$. Ad esempio aaabbab e bbabbaaab
sono elementi del gruppo. L'operazione di gruppo è "metti
una parola di seguito all'altra" e l'inversione è una "formalità":
si denota con $e$ la parola vuota e per ogni lettera $a$ con
$a^{-1}$ la sua inversa.
Infatti il gruppo libero a $n$ generatori è una costruzione
molto formale, ma nel nostro caso va a pennello in quanto
l'operazione è proprio la composizione di cammini, con $e$
denotiamo il cammino costante nel punto base, l'inverso di un
cammino è "percorri il cammino al contrario" e tutto torna..
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Messaggioda Valerio Capraro » 29/05/2006, 10:47

oramai avevo scritto...
carino anche il tuo procedimento..
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Messaggioda Luca.Lussardi » 29/05/2006, 10:57

Errata corrige: leggi omotopia, e non omologia. Se il gruppo di Poincarè è abeliano coincidono comunque...
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Messaggioda Valerio Capraro » 29/05/2006, 11:01

non so niente di omologia.. quindi non mi ero accorto dell'errore!!
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