Solidi platonici - ottaedro

[Lucio Musto]

Sto costruendo per passatempo dei modelli di solidi platonici inscritti in altri solidi platonici,
ma la mia elasticità mentale è praticamente svanita (ho 77 anni finiti) e mi blocco anche sui calcoli più banali,
chiedo perciò anticipatamente scusa per le mie domande.

OTTAEDRO - (di spigolo S)
- L'icosaedro che ha i suoi vertici sugli spigoli dell' O, ha spigolo S/2 ? (dalla mia costruzione direi di si)
- - I vertici dell'Icosaedro partiscono gli spigoli dell'ottaedro in proporzione Aurea?

- Voglio inscrivere il cubo con i vertici sugli spigoli dell'ottaedro.
- - Quanto è lungo lo spigolo di questo cubo?
- - Come sarà diviso lo spigolo dell'ottaedro?

Grazie

[spugna]

- - I vertici dell'Icosaedro partiscono gli spigoli dell'ottaedro in proporzione Aurea?

Sì: infatti, se consideriamo un quadrato formato da quattro spigoli dell'ottaedro, i vertici dell'icosaedro che appartengono a tali spigoli formano un rettangolo aureo (i suoi lati, se visti nell'icosaedro, sono un lato e una diagonale di un pentagono regolare), ma si può dimostrare che se un rettangolo non equilatero è inscritto in un quadrato, i suoi lati e quelli del quadrato formano angoli di $45°$, e da ciò segue immediatamente che il rapporto tra i due segmenti in cui viene diviso ciascuno spigolo dell'ottaedro è uguale al rapporto tra i lati del rettangolo.

- L'icosaedro che ha i suoi vertici sugli spigoli dell' O, ha spigolo S/2 ? (dalla mia costruzione direi di si)

No: infatti, ponendo $\varphi={1+\sqrt{5}}/2$, ogni spigolo dell'ottaedro è diviso in due segmenti di lunghezza $s/varphi$ e $s/varphi^2$, e per quanto visto in precedenza la lunghezza degli spigoli dell'icosaedro è $s/varphi^2 *\sqrt{2}$, quindi il rapporto tra le lunghezze è $\sqrt{2}/varphi^2$, che è circa $0.54$.


Penserò al resto più tardi...

[Lucio Musto]

moltissime grazie, dimostrazione impeccabile. Io mi ero (troppo,come sempre) fidato della mia costruzione, grossolanamente approssimata