Proprietà operazioni

[AWake92]

Buonasera,

ho scaricato il libro "Matematica 3-Algebra 1" dal sito.
All'interno del primo capitolo trovo 4 proprietà delle operazioni: commutativa, elemento neutro, associativa, distributiva.
Avendo vaghi ricordi dagli studi precedenti che le proprietà fossero di più (mi ricordavo di far fatica a imparare tutti i nomi delle pp e associarle al relativo significato) trovo effettivamente le definizioni di proprietà dissociativa e invariantiva.

Sicuro che una tale mancanza nel vs. libro di testo non fosse casuale, approfondisco e scopro che effettivamente la proprietà dissociativa non è una proprietà, o mrglio è sempre la proprietà associativa.

Cerco quindi di giungere alla stessa conclusione per la proprietà invariantiva (ovvero che anche questa non è una proprietà), ma a quanto pare così non è e la trovo effettivamente utilizzata nel capitolo stesso per dimostrare le proprietà delle potenze, senza definizione alcuna.


Mi pongo dunque il quesito: la proprietà invariantiva esiste ed è legittima?

Vi ringrazio

[@melia]

La proprietà invariantiva

$a/b=(ma)/(mb)$ con $b!=0$ e $m!=0$

è una proprietà delle frazioni, non delle operazioni.

[teorema55]

E una frazione non è una operazione, in particolare una divisione?

[@melia]

Non considero le divisioni e le sottrazioni delle operazioni, perché non sono associative. Infatti alle superiori non si parla di 4 operazioni, ma di somme algebriche che riassumono addizioni e sottrazioni (=somma con l'opposto) e di prodotti che riassumono moltiplicazioni e divisioni (= prodotto per il reciproco)

[AWake92]

Ciao melia,

il tuo punto di vista è interessante e vorrei capire che cosa intendi con

Non considero le divisioni e le sottrazioni delle operazioni, perché non sono associative

Perchè una operazione per essere tale dovrebbe essere associativa?

Per quanto riguarda ciò che affermi nell'ultimo post se quanto detto corrisponde a una affermazione corretta la sottrazione non sarebbe definita (non esisterebbe) in N, non esistendo i numeri negativi in N e la divisione non sarebbe definita non esistendo i numeri razionali non naturali (in altre parole le frazioni).

Infine potresti consigliarmi qualcosa per approfondire tali argomenti?

[@melia]

La prima cosa per parlare di operazione dice che l'operazione deve essere "ben definita" cioè ogni volta che sono dati un insieme $A$ e un'operazione $*$, l'operazione è ben definita se per ogni coppia $(a, b) in AxxA$ esiste ed è unico $c in A$ tale che $a*b=c$. La sottrazione non è definita in $NN$, per la divisione in $NN$ si può operare con quella "intera", tralasciando il resto, ma tale operazione non ha molte applicazioni perché non è associativa. Le operazioni che non sono associative hanno poche e limitate applicazioni per cui, nei limiti del possibile, si cerca di aggirare l'ostacolo utilizzando operazioni associative che facciano lo stesso lavoro.

[AWake92]

La sottrazione non è definita in $NN$

Quindi, se la sottrazione non è definita in $NN$ come faccio a fare 7-2, in $NN$? Se la sottrazione non è una operazione, la definizione di sottrazione come operazione in qualsiasi testo scoilastico dalle scuole elementari alle analisi matematiche del primo anno di università è scorretta e viene mantenuta per "semplificare le cose"?

per la divisione in $NN$ si può operare con quella "intera", tralasciando il resto, ma tale operazione non ha molte applicazioni perché non è associativa.

Nel post precedente abbiamo affermato che

Non considero le divisioni e le sottrazioni delle operazioni, perché non sono associative

quindi perchè ora la divisione intera, pur non essendo associativa, è una operazione?


EDIT:

l'operazione è ben definita se per ogni coppia $(a, b) in AxxA$ esiste ed è unico $c in A$ tale che $a*b=c$.

Ho capito cosa vuol dire, ma come entra l'associatività in ciò?

[@melia]

La sottrazione non è definita in $ NN $

Quindi, se la sottrazione non è definita in $ NN $ come faccio a fare 7-2, in $ NN $? Se la sottrazione non è una operazione, la definizione di sottrazione come operazione in qualsiasi testo scoilastico dalle scuole elementari alle analisi matematiche del primo anno di università è scorretta e viene mantenuta per "semplificare le cose"?

Hai ragione, dovevo dire non è BEN definita.

per la divisione in $ NN $ si può operare con quella "intera", tralasciando il resto, ma tale operazione non ha molte applicazioni perché non è associativa.

Nel post precedente abbiamo affermato che

Non considero le divisioni e le sottrazioni delle operazioni, perché non sono associative

quindi perchè ora la divisione intera, pur non essendo associativa, è una operazione?

Anche se non è associativa è un'operazione ben definita, ma poco utile perché non associativa.

l'operazione è ben definita se per ogni coppia $ (a, b) in AxxA $ esiste ed è unico $ c in A $ tale che $ a*b=c $.

Ho capito cosa vuol dire, ma come entra l'associatività in ciò?

In ciò non entra l'associatività.

Ricapitoliamo un attimo:
Dati un insieme $A$ e un'operazione $*$, l'operazione è ben definita se per ogni coppia $ (a, b) in AxxA $ esiste ed è unico $ c in A $ tale che $ a*b=c $.
In questo caso la sottrazione in $NN$ non è ben definita, ma lo è in $ZZ$. In nessuno dei due insiemi l'operazione è associativa, quindi è opportuno modificarne la definizione in modo che diventi associativa.
$(+2)-(+5) - (-3)$ è una sottrazione in $ZZ$ ma deve essere svolta in ordine, infatti
$(+2)-[(+5) - (-3)] !=[(+2)-(+5)] - (-3)$
ma se la trasformo in $(+2)-(+5) - (-3)=(+2)+(-5) + (+3)$ l'operazione diventa un'addizione, quindi è associativa.
$[(+2)+(-5)] + (+3)=(+2)+[(-5) + (+3)]$
Sono cose che, ovviamente, già sai, ma il fatto che nella simbologia non si distingua tra il segno del numero e il simbolo di operazione, non permette di individuare con semplicità le proprietà che sono implicitamente applicate.

La divisione intera in $NN -{0}$ è un'operazione ben definita, ma poco utile. Nel linguaggio comune quando si parla di "operazioni" si intendono operazioni utili.

[AWake92]

Ok, cerco di ricapitolare anche io:

-in $NN$, le operazioni utili sono 4 (5): addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione. Per quinta io considererei la divisione con resto, mentre lascio da parte la divisione intera essendo, come dicevi tu, poco utile;

- di queste 5 operazioni, sempre in $NN$, due sono ben definite, e sono l'addizione e la moltiplicazione. Questo perchè presa qualsiasi coppia di valori appartenenti ad $NN$, il risultato appartiene ancora ad $NN$. Cercando in internet ho trovato anche come definizione di questa "caratteristica" il nome di operazione interna, in contrapposizione a operazione esterna quando il risultato dell'operazione non appartiene all'insieme di appartenenza degli operandi. Quindi "interna" e "ben definita" sono equivalenti?

- Le operazioni non associative sono poco utili. E questo non ho capito perchè;


Ritornando alla domanda iniziale:
- la proprietà invariantiva è una proprietà delle frazioni e non delle operazioni. In altre parole indicazioni come questa http://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/lezioni-di-algebra-e-aritmetica-per-scuole-medie/1633-proprieta-invariantiva-sottrazione-divisione.html sono sbagliate.
Non esiste alcuna proprietà invariantiva nè della sottrazione nè della divisione

In totale le proprietà delle operazioni sono:
-commutativa
-associativa
-distributiva
-elemento neutro.


E' corretto tutto quanto affermato in questo post?

[@melia]

1. quella che ho chiamato "divisione intera" è quella con resto

2. le operazioni ben definite in $NN$ sono 2, ma in $NN-{0}$ c'è anche la divisione intera

3. In linea generale potremmo accettare come definizione di operazione ben definita quello di operazione interna.

4. Le operazioni non associative sono poco utili perché NON puoi operare con molti operatori ma solo con due alla volta e hai bisogno che sia definito un criterio rispetto al quale decidere a quali operatori dare la precedenza.

5. Siamo sempre allo stesso punto: vuoi studiare su un testo delle superiori o su quello delle medie? Vuoi imparare ad andare in bicicletta o giudare un motoveicolo? Nel primo caso devi imboccare la pista ciclabile, nel secondo è meglio se non lo fai.

6. La proprietà distributiva è una proprietà che può essere vista solo se le operazioni sono due.

7. Aggiungerei la legge di annullamento del prodotto, che come la proprietà distributiva, ha bisogno di due operazioni $+$ e $*$ e garantisce che facendo la seconda operazione con l'elemento neutro della prima si ottiene sempre l'elemento neutro della prima.
$0*a=0$ per ogni $a in A$

Però adesso prima di rispondermi leggi tutto quello che ho scritto, non fare come nel messaggio precedente in cui hai saltato tutta la parte relativa alla proprietà associativa.