Principi di equivalenza delle equazioni

[AnalisiZero]

Salve,
Vorrei sapere se e come si possono dimostrare in modo semplice e chiaro i 2 principi di equivalenza delle equazioni.
Io ho pensato alla semplificazione rispetto alla somma e rispetto al prodotto, che sono conseguenze degli assiomi dei numeri reali.
Se a+b=a+c allora b=c.
Se ab=ac con a diverso da 0, allora b=c. Potrebbe andare bene come dimostrazione?.
Grazie.

[kobeilprofeta]

$a+b=a+c $
Siamo in un gruppo, ogni elemento ammette inverso. Sia $a'$ l'inverso di a. Il fatto che a due quantità uguali possa sommare la stessa quantità per avere ancora due cose uguali è dato per fatto.
Allora sommo a' a sinistra in entrambi i membri e sfrutto la proprietà associativa
$a'+a+b=a'+a+c $
$(a'+a)+b=(a'+a)+c $
$0+b=0+c $
$b=c$

[AnalisiZero]

$a+b=a+c $
Il fatto che a due quantità uguali possa sommare la stessa quantità per avere ancora due cose uguali è dato per fatto.

È questo che vorrei capire, cioè è dato per fatto perché è un assioma? Oppure si dimostra usando la semplificazione per somma e prodotto?

[@melia]

Se $a+c=b+c$ allora $a=b$ è una delle leggi di cancellazione definite nei naturali sfruttando la definizione di addizione, e dimostrabile, a partire da questi, per tutti gli altri insiemi numerici.