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Buongiorno a tutti,
Ho una questione da porvi:

Sia $A={-2;-1;0;1;2}$

Descrivere di quali proprietà gode la relazione $xRy<=>xy>0$

Riflessiva. xRx non è sempre vera; infatti per x=0 0*0>0, 0 non è maggiore di 0.

Antiriflessiva. xRx non è sempre falsa; infatti per x=-1 -1*(-1)>0, 1>0.

Qui arriva il bello.

La relazione è: $xRy<=>xy>0$; quello che non capisco è: se devo rispettare la legge $xy>0$, allora dovrò prendere tutte le copie $(x;y)$ tali che $xy>0$ e per questo motivo dovrò escludere 0 dalle copie, perché 0 annulla il prodotto, e dovrò escludere pure tutte le copie che hanno come prodotto un numero negativo.

$xRy={(-2;-1);(-1;-2;(1;2);(2;1)}$

Queste sono le copie che rispettano la legge: $xRy<=>xy>0$

A questyo punto posso affermare che la relazione gode della proprietà della simmetria, perché per la copia (-2;-1) $-2*(-1)>0$ viceversa $-1*(-2)>0$, ma non vale più se considerassi la copia (-2;1), infatti $-2*1<0$

Non capisco se per dimostrare una proprietà della relazione devo prendere come copie ordinate solo le copie che rispettano la legge in questo caso $xRy<=>xy>0$.

Nel caso della proprietà simmetrica devi guardare solo le coppie che verificano la relazione. La proprietà simmetrica dice
Se aRb allora bRa, se a non sta in relazione con b, non mi interessa.

Buongiorno @melia grazie per la precisazione. Quindi immagino che sia per la proprietà antisimmetrica e transitiva vale la stessa cosa: prendo solamente le copie che verificano la legge xy>0, mentre per la riflessiva e antiriflessiva esamino le copie formate dallo stesso elemento per tutti gli elementi dell’insieme di definizione. Grazie e auguri di buon natale.

@GualtieroMelghesi toglimi una curiosità: ma perchè continui a scrivere COPIE, con una P sola?

Beh in effetti hai ragione, grazie per avermelo fatto notare. Adesso che ho soddisfatto la tua curiosità, potresti rispondere alla mia domanda? Buon natale.

rispondo io. Sì.