Proviamo a ragionare sul secondo quesito (la risposta al primo è più tecnica, la scrivo dopo).
Fissiamo i punti $A$ e $B$ nel piano in modo che la loro distanza sia $4"cm"$.
Domandiamoci: dove si trovano i punti del piano che hanno distanza $3"cm"$ da $B$?
Innanzitutto, ne possiamo prendere qualcuno "a casaccio", spostandoci di $3"cm"$ in qualche direzione (in linea retta, ovviamente) partendo da $B$:
Intuitivamente, possiamo arrivare a capire che i punti che distano $3"cm"$ da $B$ sono tutti i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$, che si può tracciare col compasso:
Il problema, allora, si può esprimere come segue: quali sono i punti della circonferenza di centro $B$ e raggio $3"cm"$ che sono più vicini ad $A$?
E quali quelli più lontani?
E cosa succede per tutti gli altri punti?
A queste questioni si può rispondere intuitivamente osservando la figura.
Prendiamo sulla circonferenza, a mo' di esempio, i punti che avevamo disegnato "a casaccio" prima:
congiungiamo ognuno di tali punti con il punto $A$:
e misuriamo le distanze di ogni punto da $A$: si vede che esse sono tutte più grandi della distanza tra $A$ ed il punto $C$ (che si ottiene intersecando la circonferenza con la semiretta che parte da $B$ e passa per $A$) il cui segmento corrispondente è colorato di
rosso.
Analogamente, guardando la figura che segue:
e misurando le distanze di ogni punto da $A$, ci accorgiamo che tali distanze sono tutte più piccole della distanza tra $A$ ed il punto $D$ (che si ottiene intersecando la semiretta che parte da $C$ e passa per $B$ con la circonferenza) il cui segmento corrispondente è colorato di
azzurro.
Questi sono "indizi" di un fatto più generale (che si dimostra, ma non alle medie...
), ossia che il punto della circonferenza più vicino ad $A$ è $C$, quello più lontano da $A$ è $D$ (osserva che tali punti sono diametralmente opposti!) e che ogni altro punto della circonferenza ha distanza da $A$ compresa tra la lunghezza del segmento $AC$ e quella del segmento $AD$.
Dunque, tra i punti aventi distanza $3"cm"$ da $B$:
- il punto che ha minima distanza da $A$ è $C$, e la distanza $AC$ misura $4-3=1"cm"$;
- il punto che ha massima distanza da $A$ è $D$, e la distanza $AD$ misura $4+3=7"cm"$;
- tutti gli altri punti $P$ hanno distanza da $A$ di misura compresa tra $1$ e $7"cm"$.
[
N.B.: Fammelo dire nuovamente, perché è fondamentale comunicarlo allo studente: il ragionamento che abbiamo fatto finora è totalmente basato sull'uso di esempi e dell'intuito geometrico; quindi, dal punto di vista superiore, qui non abbiamo "dimostrato" alcunché.]
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)