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narra ha scritto:si certo sei stato molto chiaro. comunque la cosa che mi lascia perprlesso è per quale motivo io non abbia avuto gli strumenti per capirlo da solo. Secondo voi? capisco che è una domanda strana però vorrei capire cosa ripassare, cosa mi sono perso, quale meccanismo non ho colto a lezione.
narra ha scritto:Qui è il mio dubbio, ma se a e b sono gia al quadrato non possono semplificare loro con radice quadrata senza elevare ulteriormente tutto al quadrato?
Esercizio: che mi dici dell’uguaglianza $|x + y| = |x| + |y|$? Come ti sembra?
Perché?
Esempio: consideriamo le prime potenze di $11$ e scriviamole in uno schema:
\[
\begin{matrix} 11^0 &= & 1 \\
11^1 &= & 1\ 1\\
11^2 &= & 1\ 2\ 1\\
11^3 &= & 1\ 3\ 3\ 1 \\
11^4 &= & 1\ 4\ 6\ 4\ 1 \end{matrix}
\]
Guardando bene i numeri a destra possiamo vedere che le cifre hanno la stessa struttura del triangolo di Tartaglia che si usa per calcolare i coefficienti delle potenze del binomio...
Quindi siamo portati a congetturare2 che le potenze di $11$ si calcolino sempre sfruttando il triangolo.
Se questa congettura fosse vera, avremmo l’uguaglianza:
\[
11^5 = 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\ldots
\]
Tuttavia, con l’uso di una calcolatrice (o anche a mano) si vede che quello a destra non è affatto il risultato corretto della potenza, poiché sul display (o sul foglio) compare il risultato:
\[ 11^5 = 161051\; .\]
Quindi i cinque indizi dello schema iniziale non sono bastati a fornire una prova della “regola generale” espressa dalla nostra congettura.
Esempio: Dimostriamo che $11^2 = 121$ e che $27-16 = 11$.
Per il primo fatto, basta svolgere le operazioni con un calcolo esplicito o “in colonna” o aiutandosi con le proprietà delle operazioni aritmetiche: scegliendo questa seconda strada3, otteniamo:
\[
\begin{matrix} 11^2 &= &11\cdot 11 &\text{definizione di quadrato} \\
&= & (10 + 1) \cdot 11 &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 11 + 1\cdot 11 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot ( 10 + 1) + 1\cdot (10 + 1) &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 10 + 10\cdot 1 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot 10 + 1\cdot 10 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà commutativa del prodotto}\\
&= & 10^2 + (1+1)\cdot 10 + 1 &\text{definizione di potenza e proprietà distributiva “al contrario”}\\
&= & 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{definizione di $2$}\\
&= & 1\cdot 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{$1$ è elemento neutro rispetto al prodotto}\\
\end{matrix}
\]
da cui segue che $11^2$ è il numero con $1$, $2$ ed $1$ come cifre, rispettivamente, di centinaia, decine ed unità, cioè che $11^2=121$.
Invece, per dimostrare che $27-16=11$ possiamo usare la definizione di “differenza”: la differenza tra due numeri (minuendo e sottraendo) è l’unico numero che sommato al secondo (sottraendo) dà come risultato il primo (minuendo).
Dunque, per dimostrare che $11$ è effettivamente la differenza di $27$ e $16$ basta calcolare $16+11$ esplicitamente e controllare se il risultato è proprio $27$, cioè occorre “fare la verifica”.
Ma è evidente (calcolo “in colonna”) che $16+11=27$, quindi tutto OK.
Esercizio: dimostrare che vale il prodotto notevole:
\[
(x^2 + 2xy + 2y^4)(x^2-2xy+2y^2) = x^4 + 4y^4
\]
(noto come identità di Sophie Germain).
Esercizio: dimostrare che $sqrt(x^2 + y^2) < x + y$ per $x,y >0$.
narra ha scritto:Perché i professori lo danno per scontato?
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