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Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 01:47
da narra
Ciao a tutti, vorrei chiedervi una cosa che non ho ben capito. Prendiamo ad esempio il teorema di pitagora dove la formula può essere scritta ad esempio cosi: c=sqrd(a^2+b^2), se volessi isolare ad esempio la "a" dovrei elevare tutto alla seconda per togliere inizialemte la radice quadrata e quindi isolare il termine a. Qui è il mio dubbio, ma se a e b sono gia al quadrato non possono semplificare loro con radice quadrata senza elevare ulteriormente tutto al quadrato?
Grazie a chi mi risponderà

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 02:01
da axpgn
Purtroppo no ...
Questo $sqrt(a^2+b^2)$ è diverso da questo $sqrt(a^2)+sqrt(b^2)$
Prova ...

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 02:07
da gugo82
No, purtroppo.

Basta fare un esempio per rendersene conto.
Se scegli $a=3,b=4$, facendo i conti come ti hanno insegnato trovi $c=sqrt(3^2 + 4^2)=sqrt(9 + 16)=sqrt(25)=5$, che è corretto (poiché il quadrato di $c$ è $25$ e coincide con la somma di $9$ e $16$); mentre semplificando inopinatamente radice con esponenti troveresti $c=3+4=7$, che non è corretto (poiché il quadrato di $c$ è $49$, diverso dalla somma di $9$ e $16$!).

In generale si dimostra che se $a$ e $b$ sono numeri positivi (cioè entrambi $>0$) allora $sqrt(a^2 + b^2) < a+b$.

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 11:59
da narra
Grazie per le gentili risposte. Facendo degli esempi numerici avevo constatato che i risultati erano diversi. Però mi sono reso conto che se qualcuno mi avesse chiesto di spiegare il perchè non sarei riuscito a dirlo. Quindi se non ho capito male la questione è proprio nel dire che sqrd(a^2+b^2) è diversa da sqrd(a^2)+sqrd(b^2) è in questo senso che bisgona ragionare?
ancora grazie

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 13:46
da axpgn
Non esattamente, almeno a mio parere ...
Il ragionamento da fare è un po' al contrario, se così si può dire ... Ovvero non è che non si può fare perché son diversi ma piuttosto sono diversi perché non esiste un teorema, una dimostrazione, una definizione insomma una giustificazione che dica che sono uguali.
Non so se mi sono spiegato :D

Cordialmente, Alex

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 14:34
da narra
si certo sei stato molto chiaro. comunque la cosa che mi lascia perprlesso è per quale motivo io non abbia avuto gli strumenti per capirlo da solo. Secondo voi? capisco che è una domanda strana però vorrei capire cosa ripassare, cosa mi sono perso, quale meccanismo non ho colto a lezione. Perchè i professori lo danno per scontato?

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 14:59
da axpgn
Mah, prima di tutto quale scuola frequenti? Qui siamo nella sezione delle medie, è il posto giusto oppure no? :D
In secondo luogo, il tuo dubbio mi pare più di concetto che "pratico" ovvero non si tratta di "meccanismi" o formule non comprese ma di atteggiamento, quello "giusto" (se così si può dire) consiste nel dare mai niente per ovvio, niente per scontato; prima di qualsiasi "operazione" deve esserci giustificazione al mio operato.
Quindi, per esempio nel caso specifico, se in prima battuta, "a sensazione" ti è sembrato "corretto" che quelle due espressioni fossero equivalenti (e questo va bene, non c'è niente di sbagliato in ciò), poi però avresti dovuto cercare, tra le tue "conoscenze" e con le tue capacità, di capire il "perché" fossero equivalenti.
Non riuscendovi, avresti dovuto concludere, almeno temporaneamente, che la tua prima impressione era sbagliata.
Ho scritto "temporaneamente" perché può darsi che tu non sia riuscito a dimostrarne la veridicità a causa delle tue conoscenze allo stato attuale e quindi la situazione potrebbe cambiare nel tempo con la tua crescita "culturale".
Però, fino ad allora, cioè fino a quando non sarai riuscito a dimostrare definitivamente, in un senso o nell'altro, la questione, la tua prima impressione non rimane altro che un'impressione. Ok? :D

Cordialmente, Alex

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 16:19
da narra
Non frequento le medie ma quarta superiore ( mi vergonavo a esplicitarlo) però direi che il problema è da medie per questo che l'ho inserito qui.
Il punto della questione è che in un espressione del tipo c= sqrt(a^2+b^2) non mi sognerei mai di semplificare la radice con i termini al quadrato, sò che se volessi levare la radice dovrei elevare tutto al quadrato (e di conseguenza anche c sarebbe al quadrato). Detto questo però, mi sono accorto che lo facevo in automatico e che se qualcuno mi avesse chiesto per quale motivo i termini al quadrato non si potevano semplificare con la radice non sarei riuscito a rispondere. Per questo che dico: "non riesco a capire cosa mi perdo e quale ragionamento mi manca." Sostituisco i numeri con le lettere, faccio due prove e vedo che non è la stessa cosa, ok, però non mi convince per capire il "meccanismo" (passami il termine) generale.
Grazie comunque per la pazienza

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 16:53
da igiul
Ti sei chiesto cosa rappresenta la radice quadrata di un numero?

... e perchè $a^2+b^2$ è diverso da $(a+b)^2$?

Re: Dubbio per formula inversa con radicali

MessaggioInviato: 17/01/2019, 17:43
da gugo82
narra ha scritto:si certo sei stato molto chiaro. comunque la cosa che mi lascia perprlesso è per quale motivo io non abbia avuto gli strumenti per capirlo da solo. Secondo voi? capisco che è una domanda strana però vorrei capire cosa ripassare, cosa mi sono perso, quale meccanismo non ho colto a lezione.

È già la domanda “cosa mi devo ripassare per capire questo e quello?” ad essere sbagliata.
Non si tratta di “ripassare” qualcosa, quanto piuttosto di cominciare a pensare alla Matematica in modo diverso da come fai ora.

Questa domanda:
narra ha scritto:Qui è il mio dubbio, ma se a e b sono gia al quadrato non possono semplificare loro con radice quadrata senza elevare ulteriormente tutto al quadrato?

esprime la legittima curiosità di uno studente alle prime armi che apprende e che ha voglia di capire le cose, capire perché vanno in un certo modo e non in un altro (che casomai è intuitivamente più semplice). È una cosa bella che tu te lo sia chiesto: la maturità di uno studente si misura anche dalle domande che si fa, non solo dalle risposte che dà agli altri. E la maturità cresce (esponenzialmente, vorrei dire) quando cerchi di rispondere autonomamente alle domande che ti poni.

Dunque, quando hai un dubbio (il che è una cosa legittima, sempre), cerca innanzitutto di risponderti da solo, ragionando per convincerti della bontà di un’intuizione o della sua fallacia.
Ragionamenti del genere poggiano anzitutto sull’uso di esempi (numerici, grafici, reali, etc...): un buon esempio in cui una tua affermazione (ad esempio $sqrt(a^2 + b^2) = a+ b$)1 non funziona ti aiuta a capire che essa è, in generale, falsa senza possibilità di appello.
Per questo, appena senti che qualcosa che hai intuito “ti puzza”, mettiti alla ricerca di un esempio che ti dimostri che essa è falsa.
Esercizio: che mi dici dell’uguaglianza $|x + y| = |x| + |y|$? Come ti sembra?
Perché?


Viceversa, numerosi esempi, anche molto diversi, in cui la tua affermazione funziona costituiscono solamente indizi del fatto che essa potrebbe essere, in generale,vera.
Tuttavia, come si usa dire, “molti indizi non costituiscono una prova”... Questa verità in campo giuridico è tanto più vera in Matematica.
Esempio: consideriamo le prime potenze di $11$ e scriviamole in uno schema:
\[
\begin{matrix} 11^0 &= & 1 \\
11^1 &= & 1\ 1\\
11^2 &= & 1\ 2\ 1\\
11^3 &= & 1\ 3\ 3\ 1 \\
11^4 &= & 1\ 4\ 6\ 4\ 1 \end{matrix}
\]
Guardando bene i numeri a destra possiamo vedere che le cifre hanno la stessa struttura del triangolo di Tartaglia che si usa per calcolare i coefficienti delle potenze del binomio...
Quindi siamo portati a congetturare2 che le potenze di $11$ si calcolino sempre sfruttando il triangolo.
Se questa congettura fosse vera, avremmo l’uguaglianza:
\[
11^5 = 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1\ldots
\]
Tuttavia, con l’uso di una calcolatrice (o anche a mano) si vede che quello a destra non è affatto il risultato corretto della potenza, poiché sul display (o sul foglio) compare il risultato:
\[ 11^5 = 161051\; .\]
Quindi i cinque indizi dello schema iniziale non sono bastati a fornire una prova della “regola generale” espressa dalla nostra congettura.

Dunque, anche una volta che hai raccolto numerosi indizi tutti favorevoli, ti può rimanere il dubbio che la proprietà che stai studiando sia comunque falsa... L’unico modo che hai per sciogliere questo dubbio è fare ciò che i Matematici fanno usualmente: trovare una dimostrazione della tua proprietà.
Dopotutto, una dimostrazione non è altro che questo: una “bolla di accompagnamento” che illustra a chiunque si imbatta nella proprietà studiata (e conosca un po’ di Matematica!) che essa è vera, poiché segue logicamente da fatti già acclarati (che possono esssere proprietà già dimostrate o anche postulati -che si assumono veri “a priori”, cioè intuitivamente- oppure definizioni).
La più basilare forma di dimostrazione, che si insegna fin dalle scuole elementari (ma senza dirlo, perché altrimenti i pedagoghi si scandalizzano! :roll: ), è il calcolo esplicito, seguita a ruota dalla verifica di un risultato (fatta usando una definizione).
Esempio: Dimostriamo che $11^2 = 121$ e che $27-16 = 11$.
Per il primo fatto, basta svolgere le operazioni con un calcolo esplicito o “in colonna” o aiutandosi con le proprietà delle operazioni aritmetiche: scegliendo questa seconda strada3, otteniamo:
\[
\begin{matrix} 11^2 &= &11\cdot 11 &\text{definizione di quadrato} \\
&= & (10 + 1) \cdot 11 &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 11 + 1\cdot 11 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot ( 10 + 1) + 1\cdot (10 + 1) &\text{definizione di $11$}\\
&= & 10\cdot 10 + 10\cdot 1 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà distributiva del prodotto}\\
&= & 10\cdot 10 + 1\cdot 10 + 1\cdot 10+ 1\cdot 1 &\text{proprietà commutativa del prodotto}\\
&= & 10^2 + (1+1)\cdot 10 + 1 &\text{definizione di potenza e proprietà distributiva “al contrario”}\\
&= & 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{definizione di $2$}\\
&= & 1\cdot 10^2 + 2\cdot 10 + 1 & \text{$1$ è elemento neutro rispetto al prodotto}\\
\end{matrix}
\]
da cui segue che $11^2$ è il numero con $1$, $2$ ed $1$ come cifre, rispettivamente, di centinaia, decine ed unità, cioè che $11^2=121$.

Invece, per dimostrare che $27-16=11$ possiamo usare la definizione di “differenza”: la differenza tra due numeri (minuendo e sottraendo) è l’unico numero che sommato al secondo (sottraendo) dà come risultato il primo (minuendo).
Dunque, per dimostrare che $11$ è effettivamente la differenza di $27$ e $16$ basta calcolare $16+11$ esplicitamente e controllare se il risultato è proprio $27$, cioè occorre “fare la verifica”.
Ma è evidente (calcolo “in colonna”) che $16+11=27$, quindi tutto OK.

Questo continua ad esser vero anche dopo le scuole elementari, solo che i metodi di calcolo si affinano e diventano più astratti (calcolo letterale, calcolo combinatorio, calcolo proposizionale, calcolo infinitesimale/differenziale/integrale, etc...) e quindi più potenti.
Esercizio: dimostrare che vale il prodotto notevole:
\[
(x^2 + 2xy + 2y^4)(x^2-2xy+2y^2) = x^4 + 4y^4
\]
(noto come identità di Sophie Germain).

Esercizio: dimostrare che $sqrt(x^2 + y^2) < x + y$ per $x,y >0$.


Morale della favola: non smettere di essere curioso e coltiva bene la tua curiosità: è l’unico modo che hai per crescere.

narra ha scritto:Perché i professori lo danno per scontato?

Generalizzi a casaccio, cosa che un Matematico non fa mai.
Io, ad esempio, cerco di non farlo mai (dare per scontato, ma anche generalizzare...). :wink:

Note

  1. Questa, scherzando coi miei studenti, l’ho chiamata sproprietà della $sqrt(\ )$, proprio perché non è mai una formula vera (beh, a parte il caso banale in cui $a=0 v b=0$)! :lol:
  2. Una congettura è un’idea, un’affermazione, una regola di calcolo che non è stata ancora dimostrata.
  3. Che è quella dura e pura... Colla moltiplicazione “in colonna” si fa prima!