da mklplo » 20/11/2017, 15:59
Comunque,oggi in classe,mi sono messo a fare qualche semplice dimostrazione,e vi sarei grato se le controllaste.I teoremi che ho voluto dimostrare sono:
1)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni iniettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse iniettive"
2)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni suriettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse suriettive"
3)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni biiettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse biiettive"
4)"Sia \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) una funzione strettamente monotona,allora \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è anche iniettiva(non vale il viceversa)"
5)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni monotone strettamente crescenti,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse monotone strettamente crescenti"
6)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni monotone strettamente crescenti,allora,la funzione $h:RR->RR$ tale che $h=f+g$,è anch'essa monotona strettamente crescente.
7)"Una funzione \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è invertibile se e solo se \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è biiettiva.
8)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni invertibili,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse invertibili
D1)Per dimostrare il primo teorema ho fatto così:
Quindi partiamo da \( (f \circ g)(x_1)=(f \circ g)(x_2) \),questa equazione vera(a causa dell'iniettività di $f$)se e solo se $g(x_1)=g(x_2)$,che è vera (a causa dell'iniettività di $g$) se e solo se $x_1=x_2$.Allora la funzione \( (f \circ g)(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è iniettiva.(stesso discorso per \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) )
D2)Passando al secondo teorema ho fatto così:
Iniziamo col dire che affermare che $f:RR->RR$ è suriettiva equivale ad affermare che $Im(f)=RR$,stesso discorso per $g$.
Allora \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è suriettiva se $Im(f \circ g)=RR$,ma questa condizione è quasi subito dimostrate,perché se $Im(g)=RR$,allora $Im(f \circ g)=Im(f)=RR$.Ovviamente il discorso è vero anche per l'altra funzione.
D3)Il terzo teorema si dimostra applicando la definizione di biiettività insieme ai due teoremi precedenti.
D4)Per dimostrare il quarto teorema,mi basta applicare la definizione di funzione monotona strettamente crescente,che esclude il caso $f(x_1)=f(x_2)$.Mentre per provare che il viceversa sia falso,ho costruito come controesempio un funzione ad una variabile reale che,\(\forall x \in [0,1]\) vale $x$,mentre \(\forall x \in [-10,-3]\) vale $2x$.
D5)Per dimostrare il quinto teorema ho fatto così:
Pongo $x_1>x_2$(non penso che devo rispecificare che appartengano ad $RR$(intendo quando nel caso debba portare la dimostrazione in un esame),giusto?) allora $(f \circ g)(x_1)>(f \circ g)(x_2)$ mi coimplica che $g(x_1)>g(x_2)$ che risulta vero per ipotesi(stessa cosa per l'altra funzione).
D6)Andando al sesto teorema,ho proceduto in questo modo:
$f(x_1)+g(x_1)>f(x_2)+g(x_2)$ se ($x_1>x_2$),allora,usando il fatto che $f$ è monotona strettamente crescente,ottengo $f(x_1)+g(x_1)>f(x_1)+g(x_2)$ che semplificando mi dà $g(x_1)>g(x_2)$ che è vera per la monotonia e la stretta crescenza di $g$.
D7)Ora il settimo teorema,per quanto "ovvio",mi ha dato un po' di problemi,comunque ecco come ho proceduto:
Per assurdo,ammettiamo che $f$ non sia iniettiva,allora \( \exists y \in Im(f):\begin{cases} f^{-1}(y)=x_1 \\ f^{-1}(y)=x_2 \end{cases} \) ,dove \(x_1 \neq x_2\),il che non può essere una funzione,per definizione.
Sempre per assurdo ho provato con la suriettività,ammettiamo che $f$ non sia suriettiva,allora \( \exists y \in \mathbb{R}:f^{-1}(y) \not \in \mathbb{R} \) ,il che non può essere possibile,perchè $f$ è una funzione a valori reali(in realtà penso di aver fatto qualche errore,perchè nel provare a formalizzare questo semplice concetto mi sono un po' perso).
D8)Per l'ottavo ed ultimo teorema,mi è bastato applicare il terzo teorema,con il settimo teorema.
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mklplo il 20/11/2017, 20:12, modificato 2 volte in totale.