Ciao! (Oramai buona sera...)
@vict85, io usato "se e solo se" nella definizione perché penso di avere delle buone motivazioni. La coimplicazione indica una equivalenza logica. Dal punto di vista logico, guardando le tavole di verità, una coimplicazione di due enunciati è vera quando i due enunciati hanno lo stesso valore di verità. A mio parere la coimplicazione in una definizione si presta bene a definire nuovi concetti. Il "se" ha un significato molto importante e ben preciso in matematica. Con "girare la frase" intendi una cosa del genere:
Una funzione $f:X \mapsto Y$ tale che
$\forall x,y \in X: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$
è detta iniettiva.
A me non è che piaccia tanto... Ci saranno altre maniere, senza usare il "se"...
@mklplo, io ho proceduto così per la D2, che poi è la traccia che ti ha fornito @vict85.
Siano $f:X \mapsto Y$ e $g:Y \mapsto Z$ funzioni suriettive. Da queste ipotesi segue che
per ogni $z \in Z$
esiste almeno un $y \in Y$ per cui $g(y)=z$. Analogamente
per ogni $y \in Y$
esiste almeno un $x \in X$ tale che $f(x)=y$. In definitiva:
per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $x \in X$ per cui $z=g(f(x))=(g \circ f)(x)$.
Ovvero: $g \circ f$ è suriettiva.
Per quanto riguarda la D7 non mi hai ancora detto la definizione di invertibilità o di funzione inversa... È importante la definizione perché costituisce un punto di partenza.