Come Formalizzare una Dimostrazione?

[mklplo]

@vict85:Grazie per la risposta,per sapere,ma in quale teorema,ho sbagliato a scrivere l'ipotesi,o ho sbagliato la definizione(fattasi eccezione per la funzione inversa che già mi è stato detto che ho sbagliato)?
Appena posso,riproverò a fare la dimostrazione usando gli elementi.
Per curiosità,che vuol dire questo ?

Insomma puoi definire iniettivo e suriettivo in maniera del tutto categoriale e dimostrare il tutto attraverso diagrammi commutativi, ma non te lo consiglio.

Cioè,il definire quelle proprietà in maniera categoriale è una conoscenza tipica di analisi 1 o di algebra lineare?
Perché nel caso,subito dopo essere migliorato nelle dimostrazioni,dovrò studiarmele(dato che non è ho mai sentito parlare)

[Indrjo Dedej]

Lascia stare la teoria delle categorie, per ora. So che andrai a informarti di questa meravigliosa disciplina. Non si colloca né in analisi né in algebra. Questi due ambiti usano talvolta gli strumenti della teoria delle categorie. Se avrai pazienza potresti arrivarci... Per ora concentrati su quanto ti abbiamo detto. So che sei curioso, ma incomincia a padroneggiare semplici dimostrazioni prima.
Va da sé, avrai capito che devi possedere quei pochi elementi di logica, dei quali te ne ho già evidenziati alcuni.

Certo che è difficile tenerti su una sola cosa, che sfori in altri ambiti. Attento: va benissimo la curiosità, ma deve esserci ordine, criterio e perseveranza in quello che fai, non saltare di quà e di là.

[mklplo]

@Indrjo Dede:in realtà,una volta tanto,non mi sarei gettato nello studio di un'altra disciplina,salvo che non fosse stato un argomento di analisi 1 o un argomento importante ed elementare di algebra lineare.Per quanto riguarda la logica,io conosco i quantificatori e i connettivi(ovviamente quelli base,non so se ne esistano altri oltre congiunzione,disgiunzione,implicazione,coimplicazione),ma ho ancora qualche difficoltà nell'usare correttamente implicazione e coimplicazione(come si è visto).Ora pensando a ciò che mi avete detto,tolte di mezzo le interrogazioni,potrò concentrarmi sul riprovare a dimostrare quel teorema.

[otta96]

Cerchiamo di essere molto più rigorosi:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ per cui esiste almeno una funzione $g:Y \mapsto X$ tale che
$g \circ f= id_X$ e $f \circ g=id_Y$
è detta invertibile e $g$ inversa di $f$.

Volevo solo far notare che in genere non si prende questa come definizione di funzione invertibile, ma piuttosto una funzione che è sia iniettiva che suriettiva.
P.S. Ho guardato su Wikipedia e in effetti la definisce come hai fatto tu, a quanto pare non è la maggior parte a usare la definizione che uso io come invece pensavo, a questo punto quello che ho detto era solo per far notare che non tutti usano la stessa definizione.

[vict85]

La teoria delle categorie richiede un livello di comprensione dei vari argomenti "base" superiore a quello che hai ora. Quello che intendevo io è che puoi definire una funzione iniettiva nel seguente modo:

Siano \(X\), \(Y\) due insiemi e sia \(f\colon X\to Y\) una funzione tra di loro. Si dice che \(\displaystyle f \) è iniettiva¹ se per ogni insieme \(\displaystyle Z \) e coppia di funzioni \(\displaystyle h, k\, \colon X \to Y \), \(f\circ h = f\circ k\) implica \(h = k\).

La proprietà scritta sopra prende il nome di cancellabile a sinistra. Nota che con questa definizione è semplice dimostrare che una funzione invertibile a sinistra² è iniettiva.

Similmente si può definire una funzione suriettiva come:

Siano \(X\), \(Y\) due insiemi e sia \(f\colon X\to Y\) una funzione tra di loro. Si dice che \(\displaystyle f \) è suriettiva³ se per ogni insieme \(\displaystyle Z \) e coppia di funzioni \(\displaystyle h, k\, \colon X \to Y \), \(h\circ f = k\circ f\) implica \(h = k\).

La proprietà scritta sopra prende il nome di cancellabile a destra. Similmente a quanto detto per l'iniettività è facile mostrare che invertibile a destra⁴ implica la suriettività.

Nota che se definisci una funzione invertibile come una funzione invertibile sia a destra che a sinistra, il fatto che l'inversa destra e sinistra sia la stessa diventa un teorema.

Nota che usando diverse definizioni ciò che ora ho scritto come "definizione" diventa un teorema nella teoria che parte dalle altre definizioni. Puoi provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti, ma solo dopo aver finito D7 .

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Note

1. Nella teoria delle categorie (concrete) una funzione di questo tipo è chiamata monomorfismo o morfismo monico. Quindi è un po' improprio dire che questa è la definizione di iniettivo, seppur i due concetti coincidano per gli insiemi. Diciamo che è un po' come per invertibile e biettiva. ↑
2. Con invertibile a sinistra si intende una funzione \(f\colon X\to Y\) che possiede un inverso sinistro ovvero che esiste una \(\displaystyle g\colon X\to Y \) tale che \(\displaystyle g\circ f = \mathrm{id}_X \) ↑
3. Nella teoria delle categorie (concrete) una funzione di questo tipo è chiamata epimorfismo o morfismo epic. ↑
4. La definizione è analoga a quella a sinistra,
   cambia solo il lato. ↑

[vict85]

[...]Sia \(f: X \rightarrow Y\) una funzione,essa è invertibili se e solo se è biiettiva.
D7)Per assurdo:
Se $f$ non fosse iniettiva,allora \( \exists y \in Y:y= \begin{cases} f^{-1}(x_1) \\ f^{-1}(x_2) \end{cases} \) dove \(x_1 \neq x_2\),
il che,non può essere vero,per la definizione di funzione.
Se $f$ non fosse suriettiva allora
\( X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(f(X) \cup f(A))=X \cup A \) (il che è vero se $A$ è contenuto uguale ad $X$,ma che mi porta ad una contraddizione,perché se $X \cup A=X$,allora $f(X)=Y$,il che è vero,se la funzione è suriettiva.

Vediamo di iniziartela, così da mostrarti come si scrive un dimostrazione.

Supponiamo che \(f\) sia invertibile e sia \(\displaystyle f^{-1} \) la sua inversa. Siano \(x_1,x_2\in X\) tali che \(y = f(x_1) = f(x_2)\). Sia inoltre \(x = f(y)\). Per l'invertibilità di \(\displaystyle f \), si ricava che \(\displaystyle x_1 = (f^{-1}\circ f)(x_1) = f^{-1}( y ) = x \) e \(\displaystyle x_2 = (f^{-1}\circ f)(x_2) = f^{-1}( y ) = x \), ovvero che \(x_1 = x = x_3\). Pertanto \(\displaystyle f \) è una funzione iniettiva.

Lascio a te la suriettività... hint invertibile a destra significa che per ogni \(y\in Y\), \(\displaystyle (f\circ f^{-1})(y) = y \).

Abbiamo dunque dimostrato che tutte le funzioni invertibili sono biiettive. Dimostriamo dunque l'implicazione inversa. Sia quindi \(f\) una funzione biiettiva. Questa parte non la inizio perché non l'avevi trattata nella tua precedente dimostrazione e voglio darti la possibilità di pensarci su.

[mklplo]

@vict85:grazie,appena ho tempo,posterò le dimostrazioni.

[mklplo]

Ecco,basandomi sugli aiuti che mi avete dati(che sono innumerevoli),ora proverò a fare la dimostrazione,per quanto riguarda la suriettività:
Sia $f$ una funzione invertibile e sia $f^(-1)$ la sua inversa;allora per la definizione di suriettività,abbiamo: \( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \).Ora " applicando $f^-1$ all'espressione"(lo messo fra virgolette perchè dubito fortemente che sia un termine corretto,magari qualcuno potrebbe spiegarmi come dire) otteniamo \( \forall y \in Y \exists x \in X:(f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(y) \),che per definizione di inversa,arriviamo al risultato \( \forall y \in Y \exists x \in X:x=f^{-1}(y) \).Così abbiamo dimostrato che la funzione è suriettiva.

[mklplo]

Per quanto riguarda l'implicazione inversa,ho fatto così:
Per definizione di una funzione $f :X -> Y$ è invertibile se esiste una funzione $f^(-1):Y->X$,tale che $(f \circ f^(-1))(y)=id_Y$ e $(f^(-1) \circ f)(x)=id_X$.Questa condizione è soddisfatta dal fatto che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro e una funzione suriettiva ha un inverso destro.Per dimostrare queste altre affermazioni ho fatto i seguenti passaggi:
1:Iniettività) \( f(x_1)=f(x_2) \rightarrow x_1=x_2 \rightarrow id_X(x_1)=id_X(x_2) \rightarrow (f^{-1} \circ f)(x_1)=(f^{-1} \circ f)(x_2) \) (il che significa che una funzione iniettiva ha un inverso sinistro)
2:Suriettività)
\( \forall x \in X \exists y \in Y:f(x)=y \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:f^{-1}(y)=x \rightarrow \forall y \in Y \exists x \in X:(f \circ f^{-1})(y)=f(x) \) (il che significa che una funzione suriettiva ha un inverso destro).
Così,ho dimostrato(salvo errori) che una funzione biiettiva è anche invertibile(onestamente sulla suriettività ho sempre qualche dubbio sulla dimostrazione,quindi non sono certo di averla fatta bene).

[mklplo]

Secondo voi,le dimostrazioni precedenti,sono corrette,o presentano degli errori?