Come Formalizzare una Dimostrazione?

[axpgn]

Da mo' ... solo che poi ci ricasco ... ... secondo te, dovrei seriamente rispondere al post prima del tuo? Dai, su ...

[mklplo]

Comunque,oggi in classe,mi sono messo a fare qualche semplice dimostrazione,e vi sarei grato se le controllaste.I teoremi che ho voluto dimostrare sono:
1)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni iniettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse iniettive"
2)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni suriettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse suriettive"
3)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni biiettive,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse biiettive"
4)"Sia \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) una funzione strettamente monotona,allora \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è anche iniettiva(non vale il viceversa)"
5)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni monotone strettamente crescenti,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse monotone strettamente crescenti"
6)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni monotone strettamente crescenti,allora,la funzione $h:RR->RR$ tale che $h=f+g$,è anch'essa monotona strettamente crescente.
7)"Una funzione \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è invertibile se e solo se \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è biiettiva.
8)"Siano \( f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) ,due funzioni invertibili,allora,le funzioni \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) e \( (g\circ f):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) sono anch'esse invertibili

D1)Per dimostrare il primo teorema ho fatto così:
Quindi partiamo da \( (f \circ g)(x_1)=(f \circ g)(x_2) \),questa equazione vera(a causa dell'iniettività di $f$)se e solo se $g(x_1)=g(x_2)$,che è vera (a causa dell'iniettività di $g$) se e solo se $x_1=x_2$.Allora la funzione \( (f \circ g)(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è iniettiva.(stesso discorso per \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) )


D2)Passando al secondo teorema ho fatto così:
Iniziamo col dire che affermare che $f:RR->RR$ è suriettiva equivale ad affermare che $Im(f)=RR$,stesso discorso per $g$.
Allora \( (f\circ g):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) è suriettiva se $Im(f \circ g)=RR$,ma questa condizione è quasi subito dimostrate,perché se $Im(g)=RR$,allora $Im(f \circ g)=Im(f)=RR$.Ovviamente il discorso è vero anche per l'altra funzione.


D3)Il terzo teorema si dimostra applicando la definizione di biiettività insieme ai due teoremi precedenti.


D4)Per dimostrare il quarto teorema,mi basta applicare la definizione di funzione monotona strettamente crescente,che esclude il caso $f(x_1)=f(x_2)$.Mentre per provare che il viceversa sia falso,ho costruito come controesempio un funzione ad una variabile reale che,\(\forall x \in [0,1]\) vale $x$,mentre \(\forall x \in [-10,-3]\) vale $2x$.


D5)Per dimostrare il quinto teorema ho fatto così:
Pongo $x_1>x_2$(non penso che devo rispecificare che appartengano ad $RR$(intendo quando nel caso debba portare la dimostrazione in un esame),giusto?) allora $(f \circ g)(x_1)>(f \circ g)(x_2)$ mi coimplica che $g(x_1)>g(x_2)$ che risulta vero per ipotesi(stessa cosa per l'altra funzione).


D6)Andando al sesto teorema,ho proceduto in questo modo:
$f(x_1)+g(x_1)>f(x_2)+g(x_2)$ se ($x_1>x_2$),allora,usando il fatto che $f$ è monotona strettamente crescente,ottengo $f(x_1)+g(x_1)>f(x_1)+g(x_2)$ che semplificando mi dà $g(x_1)>g(x_2)$ che è vera per la monotonia e la stretta crescenza di $g$.


D7)Ora il settimo teorema,per quanto "ovvio",mi ha dato un po' di problemi,comunque ecco come ho proceduto:
Per assurdo,ammettiamo che $f$ non sia iniettiva,allora \( \exists y \in Im(f):\begin{cases} f^{-1}(y)=x_1 \\ f^{-1}(y)=x_2 \end{cases} \) ,dove \(x_1 \neq x_2\),il che non può essere una funzione,per definizione.
Sempre per assurdo ho provato con la suriettività,ammettiamo che $f$ non sia suriettiva,allora \( \exists y \in \mathbb{R}:f^{-1}(y) \not \in \mathbb{R} \) ,il che non può essere possibile,perchè $f$ è una funzione a valori reali(in realtà penso di aver fatto qualche errore,perchè nel provare a formalizzare questo semplice concetto mi sono un po' perso).


D8)Per l'ottavo ed ultimo teorema,mi è bastato applicare il terzo teorema,con il settimo teorema.

[Indrjo Dedej]

Incominciamo col mettere ordine visivamente nel tuo post. Ci sono otto teoremi con altrettante dimostrazioni. È più facile per chi legge aiutarti...

[mklplo]

quindi come dovrei riordinarlo?
devo scrivere sotto ogni teorema la propria dimostrazione?

[Indrjo Dedej]

Ma anche mettere dello spazio tra una dimostrazione e l'altra...

[mklplo]

ok,modifico un attimo il post(si vede che io,non so proprio dove abiti l'ordine).

[Indrjo Dedej]

Allora, incominciamo.

D1) Su questo teorema ti faccio notare che vale per qualsiasi coppia di insiemi, non solo per funzioni da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$.

D1)Per dimostrare il primo teorema ho fatto così:
Quindi partiamo da $(f \circ g)(x_1)=(f \circ g)(x_2)$,questa equazione vera(a causa dell'iniettività di $f$) se e solo se $g(x_1)=g(x_2)$, che è vera (a causa dell'iniettività di $g$) se e solo se $x_1=x_2$. Allora la funzione $(f \circ g)(x): \RR \mapsto \RR$ è iniettiva.

Ti ho evidenziato quei "se e solo se" ($\Leftrightarrow$). Hanno un significato molto importante, e ben diverso da "se ..., allora..." ($\Rightarrow$). Se non lo hai ancora capito la differenza, ti invito a rivedere questa cosa. La definizione di iniettività dice:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ è iniettiva se e solo se:
per ogni $x,y \in X$ se $f(x)=f(y)$, allora $x=y$.

Quindi basandomi totalmente su questa definizione, al posto dei "se e solo se" metterei "se..., allora".

D2) Allora come prima il teorema può essere generalizzato con la scelta di un dominio e codominio arbitrari. Ti invito a rifare questa dimostrazione tenendo conto della definizione di funzione suriettiva.

D3) Questo va bene.

D4, D5, D6) Sono specifiche per $\RR$. Vanno bene.

D7) In matematica non esistono cose ovvie. Non devi pensare mai che una cosa è ovvia. Devi dimostrare rigorosamente ogni singolo passo. Qui generalizza scegliendo dominio e codominio qualsiasi. Analizziamo un attimino l'enunciato del teorema:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ è invertibile se e solo se $f$ è biiettiva.

E qui compare di nuovo il "se e solo se", il che va bene. Come prima, il "se e solo se" è importantissimo. Esprime una "equivalenza" logica. Che significa? In generale, dati due enunciati $\mathcal{P}$ e $\mathcal{Q}$, il "$\mathcal{P}$ se e solo se $\mathcal{Q}$" esprime la congiunzione (logica) tra le due implicazioni "se $\mathcal{P}$, allora $\mathcal{Q}$"(chiamiamola diretta) e "se $\mathcal{Q}$, allora $\mathcal{P}$"(chiamiamola inversa). Se ci pensi bene hai provato - poi vediamo come - per assurdo l'implicazione diretta. Sapresti dirmi la definizione di funzione inversa? O di invertibilità? Se hai la pretesa di dimostrare un teorema del genere devi capire prima di tutto di cosa stai parlando - ma vale anche in generale... -. Questa dimostrazione ti invito a rifarla da capo. Ho più o meno intuito il tua idea, ma devi sforzarti di più. Prova a rifarla, è un po' lunga, ma non ti spavetare...

D8) Questa la vediamo in un secondo momento...

[vict85]

@Indrjo: Siccome \(x=y\) implica \(f(x)=f(y)\) per ogni funzione \(f\), ha poca importanza se nella definizione di iniettiva si usa il se o il se e solo se. Al contrario non definirei un nuovo termine usando se e solo se, penso sia meglio usare un se (come particella dell'italiano) oppure girare la frase ed evitare l'uso del se. Insomma una definizione non è una implicazione.

[mklplo]

@Indrjo Dedej:grazie per la risposta,provo a rifare quelle dimostrazioni,e poi le riposto.

[mklplo]

Ecco,il secondo tentativo:
Siano \(f: X \rightarrow Y\) e \(g: Y \rightarrow Z\) due funzioni suriettive,allora le funzioni $f \circ g$ e $g \circ f$ sono suriettive.
D2)Allora \( (f\circ g):X\rightarrow Y \) è suriettiva se $Im(f \circ g)=Z$,e questa condizione è soddisfatta,perché se $Im(f)=Y$,allora $Im(g \circ f)=Im(g)=Z$.Ovviamente il discorso è vero anche per l'altra funzione.

Sia \(f: X \rightarrow Y\) una funzione,essa è invertibili se e solo se è biiettiva.
D7)Per assurdo:
Se $f$ non fosse iniettiva,allora \( \exists y \in Y:y= \begin{cases} f^{-1}(x_1) \\ f^{-1}(x_2) \end{cases} \) dove \(x_1 \neq x_2\),
il che,non può essere vero,per la definizione di funzione.
Se $f$ non fosse suriettiva allora
\( X=f^{-1}(Y)=f^{-1}(f(X) \cup f(A))=X \cup A \) (il che è vero se $A$ è contenuto uguale ad $X$,ma che mi porta ad una contraddizione,perché se $X \cup A=X$,allora $f(X)=Y$,il che è vero,se la funzione è suriettiva.