Matematicamente.it

@mklplo: considera 3 insiemi diversi. Il caso con funzioni scambiate è già coperto dal fatto che vale per ogni \(f,g\). Se non ti è chiaro, ragionaci un attimo. Comunque D2 non dimostra nulla ed è piena di errori di scrittura.

Quello che devi dimostrare è che \(\forall z\in Z,\,f(X)\cap g^{-1}(z)\neq \emptyset\) o equivalentemente \(\forall z\in Z,\,\exists x\in X\,g\bigl(f(x)\bigr)=z\) che è probabilmente più semplice dato che una funzione \(f\colon X\to Y\) è detta suriettiva se \(\forall y\in Y,\,\exists x\in X\,f(x)=y\). Ti basta usare due volte la definizione.

Grazie,per la risposta,ho provato a correggere il vecchio messaggio,secondo te va bene ora?
Invece,per quanto riguarda "D7"?

Ciao! (Oramai buona sera...)

@vict85, io usato "se e solo se" nella definizione perché penso di avere delle buone motivazioni. La coimplicazione indica una equivalenza logica. Dal punto di vista logico, guardando le tavole di verità, una coimplicazione di due enunciati è vera quando i due enunciati hanno lo stesso valore di verità. A mio parere la coimplicazione in una definizione si presta bene a definire nuovi concetti. Il "se" ha un significato molto importante e ben preciso in matematica. Con "girare la frase" intendi una cosa del genere:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ tale che
$\forall x,y \in X: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$
è detta iniettiva.

A me non è che piaccia tanto... Ci saranno altre maniere, senza usare il "se"...

@mklplo, io ho proceduto così per la D2, che poi è la traccia che ti ha fornito @vict85.
Siano $f:X \mapsto Y$ e $g:Y \mapsto Z$ funzioni suriettive. Da queste ipotesi segue che per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $y \in Y$ per cui $g(y)=z$. Analogamente per ogni $y \in Y$ esiste almeno un $x \in X$ tale che $f(x)=y$. In definitiva:
per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $x \in X$ per cui $z=g(f(x))=(g \circ f)(x)$.
Ovvero: $g \circ f$ è suriettiva.

Per quanto riguarda la D7 non mi hai ancora detto la definizione di invertibilità o di funzione inversa... È importante la definizione perché costituisce un punto di partenza.

@Indrjo Dedej:Grazie per,la risposta,ma quando dici che @vict85 ha fornito la traccia,intendi dire che i moderatori possono anche modificare i messaggi?
Comunque,io ho questa definizione di funzione inversa:"Una relazione,che associa ad ogni elemento $y in f(X)$,un elemento di $x in X$,tale che $f(x)=y$,è detta funzione inversa"(per sapere,con questa definizione,la D7 è corretta?)

Forse sono stato frainteso. Intendevo che @vict85 ti ha fornito uno spunto da cui cominciare. Non so se i moderatori possano modificare i messaggi.

Cerchiamo di essere molto più rigorosi:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ per cui esiste almeno una funzione $g:Y \mapsto X$ tale che
$g \circ f= id_X$ e $f \circ g=id_Y$
è detta invertibile e $g$ inversa di $f$.

Per la cronaca: $id_X: X \mapsto X, id_X (u)=u$ (funzione identità per $X$).

@Indrjo Dedej:ah,ok,non avevo capito.Comunque,anche cambiando la definizione,in che modo posso modificare la dimostrazione?(perchè non ho ancora capito se il secondo tentativo sia andato o meno bene).

Indrjo Dedej ha scritto:Ciao! (Oramai buona sera...)

@vict85, io usato "se e solo se" nella definizione perché penso di avere delle buone motivazioni. La coimplicazione indica una equivalenza logica. Dal punto di vista logico, guardando le tavole di verità, una coimplicazione di due enunciati è vera quando i due enunciati hanno lo stesso valore di verità. A mio parere la coimplicazione in una definizione si presta bene a definire nuovi concetti. Il "se" ha un significato molto importante e ben preciso in matematica. Con "girare la frase" intendi una cosa del genere:

Una funzione $f:X \mapsto Y$ tale che
$\forall x,y \in X: f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$
è detta iniettiva.

A me non è che piaccia tanto... Ci saranno altre maniere, senza usare il "se"...

Beh, questione di preferenze stilistiche. In generale non adoro l'uso delle implicazioni in una frase. Per esempio, l 'iniettività è definita equivalentemente richiedendo che per ogni \(x,y\in X\) si abbia \(f(x)\neq f(y)\) oppure \(x = y\). Ma sono questioni di stile. Insomma il se e solo se lo si trova anche in alcuni libri.

Indrjo Dedej ha scritto:@mklplo, io ho proceduto così per la D2, che poi è la traccia che ti ha fornito @vict85.
Siano $f:X \mapsto Y$ e $g:Y \mapsto Z$ funzioni suriettive. Da queste ipotesi segue che per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $y \in Y$ per cui $g(y)=z$. Analogamente per ogni $y \in Y$ esiste almeno un $x \in X$ tale che $f(x)=y$. In definitiva:
per ogni $z \in Z$ esiste almeno un $x \in X$ per cui $z=g(f(x))=(g \circ f)(x)$.
Ovvero: $g \circ f$ è suriettiva.

Per quanto riguarda la D7 non mi hai ancora detto la definizione di invertibilità o di funzione inversa... È importante la definizione perché costituisce un punto di partenza.

Si era quello che intendevo anche io, per questo tipo di dimostrazioni lavorare direttamente con gli elementi è spesso la via più semplice. Concordo su D7. Nella dimostrazione è tra l'altro poco chiaro quali siano le ipotesi e cosa si la tesi. Per formalizzare una dimostrazione devi prima di tutto formalizzare i dati da cui stai partendo e il risultato che vuoi ottenere.

Indrjo Dedej ha scritto:[...] Non so se i moderatori possano modificare i messaggi.
[...]

Possiamo nella/e sezioni in cui siamo moderatori. Non ho poteri di moderatore in questa sezione del forum.

@vict85:Perchè quando si fanno questo genere di dimostrazioni è meglio lavorare con gli elementi?
e in che senso,dovrei formalizzare i dati?

Con dati intendo le ipotesi e le definizioni. Se non hai ben compreso questi due non puoi iniziare la dimostrazione.

Comunque non è meglio lavorare con gli elementi, è semplicemente più semplice per un principiante. Insomma puoi definire iniettivo e suriettivo in maniera del tutto categoriale e dimostrare il tutto attraverso diagrammi commutativi, ma non te lo consiglio.