Quesito di logica

[jack22]

Salve,

volevo postarlo nel forum di logica ma poi dandoci un'occhiata mi è sembrato un dubbio troppo banale per quel forum

Potete farmi un "valore" di X e uno di Y che rendono vera la proposizione 1 (che segue) e falsa la proposizione 2?

Proposizione 1: \(\displaystyle X \Rightarrow Y \)

Proposizione 2: \(\displaystyle !Y \Rightarrow !X \)

[axpgn]

No posibile ... la 2) è la "contrapositive" della 1) (non so come si dica in italiano ... ) ... ovvero se è vera una delle due, è vera anche l'altra ... e se è falsa una delle due è falsa anche l'altra ... in definitiva, hanno sempre lo stesso valore di verità

[jack22]

Ottimo grazie

Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?

Dove posso trovare dispense che trattino di questi argomenti?

[Indrjo Dedej]

Con $!X$ si intende la negazione di $X$ ? Se è così "contronominali" intendevi forse?

Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera? Dove posso trovare dispense che trattino di questi argomenti?

Cerca le tautologie.

[jack22]

Grazie!

Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?

\( ((\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B)) \to A \)

Dovrebbe essere la reductio ad absurdum ma quella formula su wikipedia non c'è

[Indrjo Dedej]

La reductio ab absurdum la puoi esprimere in diversi modi: per esempio
$[(A \Rightarrow B) ^^ \neg B] \Rightarrow \neg A$
$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
$\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A ^^ \neg B)$
Esistono anche altri modi equivalenti. Quello che citi tu non l'ho mai visto.

Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?

Cosa intendi? Farti vedere che è sempre vera o come si usa?

Poi un'altra domanda: a che livelli punta il tuo interesse?

[jack22]

La reductio ab absurdum la puoi esprimere in diversi modi: per esempio
$[(A \Rightarrow B) ^^ \neg B] \Rightarrow \neg A$
$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$
$\neg (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A ^^ \neg B)$
Esistono anche altri modi equivalenti. Quello che citi tu non l'ho mai visto.

Questa forma l'ho trovata qui (ma non so se è giusta)

Cosa intendi? Farti vedere che è sempre vera o come si usa?

Per esempio, per la contrapositiva:
\( \displaystyle P\rightarrow Q \Leftrightarrow \displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P \)
mi sono fatto l'esempio:
P="il gallo ha cantato"
Q="il sole è sorto"

Se il gallo ha cantato, allora il sole è sorto. Se il sole non è sorto, allora il gallo non ha cantato (perchè se avesse cantato il sole sarebbe sorto)

Qualcosa del genere

[axpgn]

Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?

Cosa intendi? Non capisco ...

@Indrjo
Una tautologia è una proposizione che è sempre vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni semplici che la compongono; non mi pare che sia ciò che chiede ...

[Indrjo Dedej]

@axpgn

Una tautologia è una proposizione che è sempre vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni semplici che la compongono; non mi pare che sia ciò che chiede ...

Visto il primo post ho immaginato volesse delle equivalenze logiche.

Quali altre relazioni (non triviali) sono vere se la prima proposizione è vera?

Ho visto anche la tua risposta e anche tu hai usato un tautologia.

@jack22
Prendiamo il tuo esempio. Sappiamo che se il gallo canta, il sole è sorto. Ma il sole non è sorto. Cosa deduciamo? Il gallo non canta. E questo è il primo di quello che ti avevo proposto.
Il secondo l'hai visto tu.
Vediamo il terzo. Il terzo fornisce un modo per negare una implicazione: per negare la verità di "se il gallo canta, il sole è sorto" mi basta dire che "il gallo canta, ma il sole non è sorto".
A me quella forma che tu riporti mi sembra un po' troppo sofisticata. E anche facendo un esempio non credo si capisca.

[Raptorista]

Grazie!

Potete farmi (per curiosità personale) un esempio con questa proposizione?

\( ((\lnot A \to B) \land (\lnot A \to \lnot B)) \to A \)

Dovrebbe essere la reductio ad absurdum ma quella formula su wikipedia non c'è

Qui c'è scritto che la stessa cosa [\(\lnot A\)] implica sia \(B\) sia il suo contrario \(\lnot B\). Questo non è possibile perché \(B\) può essere vera o falsa, ma non entrambe; quindi \(\lnot A\) non può essere vera, quindi \(A\) è vera.