Equivalenza e Uguaglianza... 2

[Michele.Ancis]

Ciao,
ho lo stesso quesito del titolo, 13 anni dopo
Però vorrei una risposta più specifica.
Uguaglianza e equivalenza sono entrambe /relazioni/ giusto?
Sono cioè predicati binari tra elementi di due insiemi, eventualmente uno solo.
L'equivalenza soddisfa proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.
Si dice: l'uguaglianza è un'equivalenza, lasciando intendere che l'equivalenza non è uguaglianza.
Mi chiedo, matematicamente: quale altra proprietà possiede l'uguaglianza?
Grazie!

[Raptorista]

Moderatore: Raptorista

Il necroposting è peccato! Ho spostato in una nuova discussione.

[Raptorista]

Una relazione che soddisfa le tre proprietà che descrivi è una relazione di equivalenza. L'uguaglianza è una delle possibili relazioni di equivalenza, ma ce ne sono altre. Ad esempio, l'uguaglianza quasi ovunque tra funzioni \(\mathcal L^1\) è una relazione di equivalenza, ma non è l'uguaglianza tra numeri reali.

[Michele.Ancis]

Grazie per la risposta, però a me interessa sapere quale proprietà distingue l'uguaglianza da altre relazioni di equivalenza.
Cerco di spiegarmi meglio: le relazioni sono oggetti matematici, giusto? Come sono definiti? Attraverso proprietà, no? Bene: se uso due etichette diverse per due oggetti matematici, significa che le proprietà che li definiscono devono essere diverse. Altrimenti, come distinguo?
Allora: come distinguo l'uguaglianza da altre relazioni di equivalenza (o viceversa)?
Cosa manca all'uguaglianza quasi ovunque che citi, per essere uguaglianza? A me pare che non manchi niente, ma son qui per capire

[Raptorista]

Grazie per la risposta, però a me interessa sapere quale proprietà distingue l'uguaglianza da altre relazioni di equivalenza.

Allora: come distinguo l'uguaglianza da altre relazioni di equivalenza (o viceversa)?

L'uguaglianza [tra numeri reali] è una delle possibili relazioni di equivalenza, quella che ti dice se due numeri reali sono lo stesso numero reale. Altre relazioni di equivalenza sono diverse perché definite diversamente. Ad esempio, la relazione \(a \sim b\) definita da \(|a| = |b|\) [uguaglianza dei moduli] è un'altra relazione di equivalenza, diversa dall'uguaglianza [tra numeri reali]. La relazione \(a \sim b\) definita da \(a - b \in \mathbb Q\) [la differenza tra due numeri è un razionale] è ancora un'altra, diversa dalle precedenti.

Cosa manca all'uguaglianza quasi ovunque che citi, per essere uguaglianza? A me pare che non manchi niente, ma son qui per capire

La funzione \(y = 0\) e la funzione che vale \(1\) se \(x = 0\) e \(0\) altrimenti sono uguali quasi ovunque, ma non sono uguali.

[Indrjo Dedej]

Bhé, prima chiediti che cosa significa $=$... Dire che $=$ è una (delle tante) relazioni di equivalenza non aiuta tanto, perché il concetto di uguaglianza è delicato e continua a rimanerlo.

[Michele.Ancis]

Non riesco a spiegarmi.
Equivalenza: definita da tre proprietà.
Uguaglianza: ha le tre proprietà --> è un' equivalenza.

Ma: equivalenza --> uguaglianza
Dunque, visto che vale solo in un senso, quale proprietà possiede l'uguaglianza, che l'equivalenza NON possiede?
Altrimenti, se non si tratta di proprietà, cos'altro le differenzia? Forse che la classe di equivalenza individuata dalla relazione di uguaglianza, contiene solo un elemento?

[gugo82]

Non riesco a spiegarmi.
Equivalenza: definita da tre proprietà.
Uguaglianza: ha le tre proprietà --> è un' equivalenza.

Giusto.

Ma: equivalenza --> uguaglianza

Non giusto.
Ci sono equivalenze che non sono l’uguaglianza.

Dunque, visto che vale solo in un senso, quale proprietà possiede l'uguaglianza, che l'equivalenza NON possiede?
Altrimenti, se non si tratta di proprietà, cos'altro le differenzia? Forse che la classe di equivalenza individuata dalla relazione di uguaglianza, contiene solo un elemento?

Beh, sì. Detta in altri termini, l’uguaglianza in un insieme $A$ coincide con la relazione che si ottiene selezionando la diagonale di $A xx A$.
Tuttavia, l’uguaglianza in generale è un concetto abbastanza difficile da definire compiutamente a livello elementare.

[Vulplasir]

E' come dire : "l'auto è un veicolo ma qual è la differenza tra auto e veicolo"