Freccia di Zenone

[dRic]

Ciao,

stavo pensando ai paradossi di Zenone e c'è uno che non ho proprio ben capito: quello della freccia. In generale gli altri paradossi più famosi (achille e la tartaruga, lo stadio ecc...) si risolvono, ad esempio, con l'ausilio di una serie convergente del tipo $\sum_{n=0}^\infty (1/q)^n$, ma il paradosso della freccia propio non lo capisco.

Il paradosso recita quanto segue (le parole sono mie):

Sia una freccia scagliata da un punto A ad un punto B. In ogni istante del percorso la freccia risulta essere ferma (?) in una determinata posizione dello spazio e dunque sommando infiniti istanti in cui la freccia è immobile non posso avere un movimento. Dunque il movimento è solo apparente.

Io proprio non capisco che vuol dire... E' ovvio che all'istante $t$ la freccia si trova nel punto $x$: è proprio la definizione di movimento!

Se io all'istante $t$ ho la freccia nel punto $x$ e all'istante $t^'$ ho la freccia alla posizione $x^'$ prendo atto di ciò e dico che si è mossa.

Qualcuno mi potrebbe spiegare cosa vorrebbe dire Zenone con questa frase?

[mgrau]

L'argomento sarebbe quindi: se in un dato istante la freccia si trova in in dato posto, allora è ferma. Si tratta per l'appunto di un sofisma: un argomento intenzionalmente fallace esposto con l'intenzione di ingannare.
Del resto anche gli altri paradossi sono sofismi: quando si dice che per andare da A a B bisogna prima percorrere metà strada, poi metà del rimanente ecc. e si conclude che, siccome il percorso fra A e B viene scomposto in una infinità di segmenti, allora richiede un tempo infinito, si dice un falso, si inganna l'ascoltatore.
Che poi Zenone non fosse mosso da bassi scopi ma volesse solo mettere in crisi il senso comune, può essere, anzi sarà stato senz'altro così. Ma comunque resta il fatto che, col senno di poi, sono ragionamenti sbagliati. Rimane semmai il dubbio se Zenone stesso sapesse che sono sbagliati.

EDIT: probabilmente è un anacronismo parlare di sofismi. Infatti si parla di paradossi di Zenone. Credo che il termine sia entrato in uso successivamente, appunto con i sofisti. Nel sofisma penso abbiano un peso determinante la consapevolezza dell'errore e l'intenzione di ingannare.

[dRic]

L'argomento sarebbe quindi: se in un dato istante la freccia si trova in in dato posto, allora è ferma. Si tratta per l'appunto di un sofisma: un argomento intenzionalmente fallace esposto con l'intenzione di ingannare.

Il punto è che el caso di questo particolare paradosso non riesco a capire qual è la "parte" che deve essere confutata. Nell'esempio da te proposto (per andare da A a B) l'errore sta nel passaggio finale ovvero nel dire che la somma degli infiniti intervalli di tempo per percorre gli infiniti segmentini è infinito: questo è sbagliato e si può dimostrare, come avevo detto, dimostrando la convergenza della serie $\sum_{n=0}^{\infty} (1/q)^n$. Nel caso della freccia non ho ben chiaro quale sia l'affermazione che va smentita perché non trovo molto senso nella "stesura" stessa del paradosso. Il movimento può essere percepito solo mettendo in relazioni due "eventi", se considero la freccia istante per sitante è ovvio che sarà sempre ferma. Se poi Zenone si stava interrogando sul come faccia la freccia a spostarsi da un punto A a un punto B, allora penso che non sia possibile dare una riposta.

[Shackle]

Il matematico P.G. Odifreddi , nel suo libro "C'era una volta un paradosso" , accenna al paradosso della freccia di Zenone; copio e incollo ( il paradosso è alla fine del secondo foglio) :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

In sostanza , se ho ben capito, in ogni istante di tempo, siccome l'istante è unico e ben definito , la freccia è ferma. Copio da un altro libro sui paradossi :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sono d'accordo con quello che dice il secondo libro : non vanno sottovalutati e, se correttamente intesi, non possono essere confutati, come afferma il matematico U. Bartocci. Ma c'è veramente la dicotomia accennata , cioè tra spazio continuo e tempo discreto ? Oggigiorno, siamo sicuri che lo spazio sia un "continuo" come un $R^3$ , e il tempo sia anch'esso "continuo" come l'insieme $R$ dei reali ? Al di sotto di una certa lunghezza e un certo tempo ( di Planck) , sono discreti sia lo spazio che il tempo. Ma non lo so con certezza, non mi reputo abbastanza ferrato in materia. Zenone forse pensava proprio a una discontinuità dello spazio e del tempo , anticipando qualche visione di fisica ultramoderna ...ma non voglio gettarmi in un campo che non conosco.

[dRic]

Ottime letture, grazie Shackle.

In particolare mi ha colpito (nel secondo file che hai allegato) il seguente passo:

Essi non mirano a confutare il moto in sé, ma la sua formalizzazione matematica [...]. Infatti anche al giorno d'oggi con l'analisi infinitesimale non possiamo che confermare che prima che Achille raggiunga la tartaruga dovranno passare infiniti istanti.

Secondo me la questione è delicata: modellizzando la realtà con la matematica della meccanica ci vogliono effettivamente infiniti istanti perché Achille raggiunga la tartaruga, ma ciò non significa che egli non la possa raggiungere! Il modello matematico quindi funziona! E' come un trucco: volendo modellizzare la realtà in queta maniera devo accettare l'esistenza (almeno sul piano matematico) di questi intervalli infiniti, tuttavia non significa che questi esistano per davvero (questo non lo potrò mai sapere). Se poi, come dicevo, ci interroghiamo su quale sia il "vero significato" di questi infiniti istanti allora cadiamo in un circolo vizioso e smettiamo di fare fisica... dovremmo fare metafisica.

Quindi non sono d'accordo sul fatto che i paradossi non sia confutabili: per me lo sono (ammesso di rimanere nel campo della fisica).

Per quanto riguarda il paradosso della freccia (che è quello più complicato a mio avviso), non ho ben afferrato il discorso sulla relatività...

[Shackle]

Se poi, come dicevo, ci interroghiamo su quale sia il "vero significato" di questi infiniti istanti allora cadiamo in un circolo vizioso e smettiamo di fare fisica... dovremmo fare metafisica.
Quindi non sono d'accordo sul fatto che i paradossi non sia confutabili: per me lo sono (ammesso di rimanere nel campo della fisica).
Per quanto riguarda il paradosso della freccia (che è quello più complicato a mio avviso), non ho ben afferrato il discorso sulla relatività...

E infatti, c'è il rischio di passare dalla fisica alla metafisica! Ma il paradosso ha ben poco di fisico. Nel campo della fisica ( ho fatto una aggiunta al commento finale precedente, guardalo ), la confutazione forse è possibile se ammettiamo la "continuità" in senso matematico di spazio e tempo, e non come invece fa Aristotele, che sembra ammettere una differenza tra spazio e tempo , il quale è ritenuto non infinitamente divisibile, al contrario dello spazio. Ma se questa continuità non ci fosse dal punto di vista fisico , e Zenone avesse precorso (di molto! ) i tempi, come la metteremmo ?
In quanto al discorso sulla relatività , forse l'autore si riferisce al continuo spazio-temporale come varietà differenziabile $M^4$ , in cui è preferibile parlare di spaziotempo come unico ente in cui esistono gli eventi ma non ho capito bene neanche io!
Certo che , se ci mettiamo a riflettere sui problemi dello spazio e del tempo , non ne usciamo più. Sto leggendo questo libro di Mauro Dorato , e ti garantisco che c'è da rimanere di stucco di fronte a certe idee dell'autore !

ORa però è tempo di andare a dormire !

[Vulplasir]

Ma quali sofismi e sofismi, Zenone aveva ragione e basta, i paradossi mettono in evidenza la differenza tra la realtà e la matematica usata per descriverla.

[Raptorista]

@vulplasir: non hai capito un tubo, tanto per cambiare.
Ai tempi di Zenone nemmeno esisteva la matematica.

[Vulplasir]

Ai tempi di Zenone nemmeno esisteva la matematica.

Questo lo dici tu

[Raptorista]

Sì, però non è vero perché lo dico io, è vero perché è così. La matematica come la conosciamo oggi esiste dai tempi di Weierstrass, anni 18xy. Fino ad allora tutte le questioni meno intuitive, come somme di infiniti e robe del genere, venivano studiate un po' a caso e spesso barando alla grande.