Pensieri e parole, e numeri

[gabriella127]

"(...) ai matematici i numeri non piacciono."
Citato da un post di LoreT314, nel thread Frasi preferite e citazioni famose.

Incipit dell'autobiografia di Paul Halmos: "A me piacciono più le parole dei numeri. Allora perché sono diventato un matematico?"

Anche a me i numeri non piacciono, preferisco le parole.

Cosa ne pensate? Qual è la natura del pensiero matematico, non tanto da un punto di vista filosofico, ma da un punto di vista soggettivo?

Ho letto di una ricerca fatta negli Stati Uniti su futuri Phd, che diceva che riuscivano meglio nel Phd quelli che avevano mostrato nei test di ingresso migliori capacità linguistiche rispetto a coloro che avevano mostrato maggiore abilità nei calcoli.
E ho letto di una ricerca di neuroscienze in cui si diceva che l'area del cervello attivata dalla matematica è la stessa del linguaggio.

Non dico nulla di nuovo, negli anni passati al dipartimento di matematica alla Sapienza ho visto che i matematici alle volte quasi si vantano di non sapere fare i conti: si occupano dell'astratto.

Nella mia esperienza, la matematica ha un momento logico-deduttivo, ma ha un momento fondamentale di tipo sintetico, cioè fare collegamenti tra cose diverse, vedere l'uguale nel diverso.
E probabilmente questo aspetto sintetico è più vicino al funzionamento del linguaggio che alla attività del calcolare.

Vorrei accennare ad altre cose, tipo chiedersi che natura hanno le dimostrazioni da questo punto di vista, ma non voglio annoiarvi oltre.

[axpgn]

Il mio punto di vista molto "personalissimo" è che ci sia un'aneddotica un po' "pompata" su 'sta cosa (iniziando da Einstein che andava male a scuola …).
In realtà anche il più "astratto" dei Matematici riconosce "al volo" situazioni, legami, risultati esclusivamente numerici (non foss'altro per esperienza); magari c'è chi pasticcia un po' di più, magari deve rifare i conti più volte, però l'idea "giusta" se l'è già fatta.
Per esempio, banalmente, quando integri cose così $(f'(x))/(f(x))$, se le espressioni non sono semplicissime, hai voglia a risalire alla scelta giusta se non "hai" già in testa il "conto" giusto …
È senz'altro vero che a certi livelli diventa (quasi) solo astrazione, solo ragionamento ma prima di arrivarci devi esserti sporcato le mani con i "contazzi" (cit.) … ovviamente sempre IMHO.

Cordialmente, Alex

[df1ee5dd07489ec65c7a]

Cosa ne pensate? Qual è la natura del pensiero matematico, non tanto da un punto di vista filosofico, ma da un punto di vista soggettivo?

Opnione personale: penso che al Matematico sia richiesta, oltre alla capacità logico-deduttiva, anche e soprattutto la capacità di pensare ed esprimersi in matematichese.... quasi sempre le due cose vanno di pari passo(infatti il pensare in matematichese e l'uso di un metodo logico-deduttivo rigoroso permette di arrivare alla soluzione del problema in maniera quasi immediata, se si è fatto tutto in modo corretto ovviamente ) altre volte(nelle problematiche più complesse dove mancano proprio i "mezzi", in cui quindi è richiesta una "rivoluzione" per superare il problema, situazioni che spesso richiedono anni se non decenni di studio) le due cose avvengono in momenti separati, dipende, comunque entrambe sono necessarie.

[marco2132k]

Ciao. Scrivo la mia umile opinione di studentello, maturata nel brevissimo tempo in cui ho avuto a che fare con la matematica fin'ora.

Credo ci sia un grande fraintendimento (almeno della matematica come la vedo [o voglio vederla] io) in chi trova una discrepanza tra numeri e altri oggetti (o in altre forme) del panorama matematico. (Attuale?) (Forse è meglio ottocentesco).

Il "contare", i "contazzi" (siano le moltiplicazioni in colonna o le quadratiche a vomito), ciò che è il far di conto sono facilmente opponibili al ragionamento matematico deduttivo, alla geometria. Se contare è una cosa naturale (associare due collezioni di elementi in modo da indicizzare le une con le altre - le dita di una mano con le pecore di un gregge), tieni presente che non lo sono gli ordinali di Neumann, su cui è definita la moltiplicazione in colonna. Con ciò - è dove voglio andare a parare - intendo dire che più che essere appartenente alla disciplina, il dualismo conto/ragionamento è insito nelle persone con scarsa cultura matematica, quando moltiplicare polinomi, sommare, dividere, risolvere equazioni e tutto l'ammasso della matematica liceale - ciò che è chiamato "conto" - è semplicemente applicazione allo sfinimento di deduzioni¹ elementari su oggetti che sarebbero propriamente parte del discorso matematico (i numeri che una formalizzazione ce l'hanno, i polinomi idem), ma di cui questa parte viene eclissata a favore delle loro proprietà intuitive, a favore di un confuso approccio intuitivo che porta all'accomunamento di "sommo e conto" (le pecore) con "faccio di conto" (in una PA o in un anello). \(\cos\) (?)

Se chiedessi a chi ho giornalmente vicino dov'è il punto di partenza (convenzionale) della matematica, riconoscerebbe probabilmente che è "12² anni fa in prima elementare quando ti hanno insegnato a contare" (ZFC fa schifo a tutti). Il problema è quindi il non identificare far di conto e deduzione - cosa fatta appunto nelle scuole inferiori - e relegarli a due aspetti diversi della matematica, quasi fosse una medaglia a due facce; quando a due facce sono invece i sui utilizzatori - chi la studia, e chi la usa, dove scegliere la parte da cui stare è un fattore personale. Il problema ancora più grande - l'origine di questa distinzione -, è la non disponibilità presso lo studente medio della matematica come la conosciamo (o come ti piaccia chiamarla), quell'identificare la matematica con le sue dimostrazioni e i suoi teoremi, e non vedere altro se non il ragionamento che è in esse.

In analogia al discorso precedente, avrai ben presente l'immagine di Pascal con il suo esprit de géométrie: Paolo Serini fa notare che la corretta resa italiana dovrebbe essere "spirito matematico"; il francese dispone dei termini per indicare nativamente questa variante, ma perché il suo autore, trecento anni addietro, non la adottò? Perché le longues chaînes de raisons furono associate alla geometria e non a Tartaglia? Ciò che evidentemente fa rabbrividire è che la visione comune della matematica sia seicentesca, ferma a quel punto.

Ancora, distinguere nella matematica il "momento dove studio la teoria" e il "momento dove faccio gli esercizi" lo trovo leggermente infantile: gli integrali interminabili o le disequazioni goniometriche odiabili servono allo studente della matematica, non alla disciplina e non ne fanno parte - e fanno oggettivamente schifo a volte, ma "bisogna" e sono a volte di importanza fondamentale³. Ne fa parte la definizione di questi enti e le regole che permettono da questa e dal sistema formale dove è data di ricavarne quella ai nostri occhi è un'"algebra" degli oggetti che tale definizione rappresenta.

D'altra parte a formulare un linguaggio che accomuni più realtà sotto uno stesso tetto, un'astrazione che accomuni cose che solo apparentemente sembrano essere legate, a leggere la struttura - di qualsiasi oggetto tu abbia davanti - una preparazione magistrale nella matematica da test d'ingresso a ingegneria non basta: è buona per avere familiarità con roba che è ricorrente (in analisi elementare, in fisica), ma l'analisi dei Promessi Sposi fatta in seconda superiore è decisamente più vicina al procedimento di astrazione di cui la matematica si nutre (ed è forse sufficiente?).

IMHO

Torno a studiare.

---

Note

1. Lo stesso procedimento deduttivo che ti portano a dimostrare che un qualche sottogruppo di qualcos'altro è normale, che uno spazio vettoriale è isomorfo al suo duale, che la miriade di definizioni di spazio topologico sono equivalenti o il teorema di Cayley. ↑
2. Spero di non aver sbagliato il conto... ↑
3. Come è indirizzato giustamente dall'utente @axpgn: a favore della familiarità e della pratica matematica, a qualsiasi livello a patto di sostituire "integrale" con "qualcos'altro". ↑

[gabriella127]

Grazie a tutti per le risposte, che adesso ho potuto leggere solo velocemente, e rileggerò con più attenzione.

Una sola rapida osservazione a Marco, il cui intervento è lungo e denso e devo senz'altro rieggerlo

il dualismo conto/ragionamento è insito nelle persone con scarsa cultura matematica.
Il problema è quindi il non identificare far di conto e deduzione - cosa fatta appunto nelle scuole inferiori - e relegarli a due aspetti diversi della matematica

Perché le longues chaînes de raisons furono associate alla geometria e non a Tartaglia?

Ti dò ragione, infatti io metto calcolo e momento logico-deduttivo dalla stessa parte.
Io intendo per ragionamento logico-deduttivo un ragionamento di tipo analitico (analitico in senso filosofico, come lo intendeva Kant), in cui il risultato è già insito nelle premesse, in base ad alcune regole logiche.
Poi c'è un momento 'sintetico, in cui si fanno collegamenti tra cose apparentemente diverse, si fanno ipotesi, a questo appartiene quello che si dice 'intuito'.
I due tipi di ragionamento sono spesso mischiati (come rileva Fabio), ad esempio mi sembra che siano mischiati nelle dimostrazioni.

Nelle definizioni mi sembra prevalere il lato sintetico. Ho sentito alle volte dire da matematici (non so con quanto spirito di paradosso), che le cose più importanti in matematica sono le definizioni, non le dimostrazioni.
Sicuramente le definizioni sono un atto creativo in cui si pone un nuovo oggetto.

E quest'atto sintetico è forse più simile all'astrazione insita nel liguaggio: quando dico 'cavallo' non parlo di 'quel' cavallo ma dei cavalli in generale, della 'cavallità'.

Perché la longues chaines de raisons furono associate alla geometria e non a Tartaglia?
Non lo so, ma posso ipotizzare che avessero in mente la geometria deduttiva di derivazione Euclidea, con assiomi, enti primitivi etc., più che la geometria analitica.

@axpgn è vero che c'è un'aneddotica un po' stucchevole, anche un po' snob, tipo dire, come ho più volte sentito 'I calcoli sono per gli ingegneri!' (non se ne abbiano gli ingegneri, sono in disaccordo )

[axpgn]

… anche un po' snob, tipo dire, come ho più volte sentito 'I calcoli sono per gli ingegneri!' …

L'hai detto tu, eh!

[Delirium]

[...] Incipit dell'autobiografia di Paul Halmos: "A me piacciono più le parole dei numeri. Allora perché sono diventato un matematico?" [...]

Personalissima interpretazione: forse perché la Matematica è (anche) un fatto sociale ed esiste (anche) come atto sociale. Il rigore sta nei libri, nel privato della propria stanza nel momento in cui si fa lo sforzo di condensare un'idea, di darle la forma assoluta che si merita, ma le cose si fanno insieme (cit. un grande professore per cui nutro una stima eterna) e per fare le cose insieme servono, "banalmente", le parole (e le birre).

[gabriella127]

Bello quello che dici, Delirium.
Ma chi era questo professore? Se si può sapere.
De Giorgi?
Ricordo una sua intervista che diceva che la matematica è bellezza, armonia, socialità.
(alla birra non accennava

[gabriella127]

… anche un po' snob, tipo dire, come ho più volte sentito 'I calcoli sono per gli ingegneri!' …

L'hai detto tu, eh!

Non ho capito che hai detto!

[Delirium]

@gabriella: non De Giorgi, me lo disse una volta il mio relatore (prof. Monti di Padova). Peraltro questo fatto del fare le cose insieme mi ha ricordato dell'usanza dei matematici di listare, in un paper, gli autori in ordine alfabetico (e non in ordine di "contributo" come fa quasi tutto il resto del mondo accademico).