Teoremi calcolo differenziale ed integrazione

[Settevoltesette]

Perché alcuni sostengono sia meglio vedere prima l'integrazione e poi i teoremi del calcolo differenziale, quando normalmente vengono proposti prima gli uni degli altri
È un po' che sono a digiuno di matematica, da poco tempo ho ripreso i libri sotto mano, per un colpo di fortuna sono riuscito ad acquistare il "set completo" dei de marco e li mi pare di aver letto questo.

[gugo82]

Perché ad alcuni piace la carne e ad altri il pesce?

[Settevoltesette]

Pensavo ci fosse qualche motivo didattico valido sotto questa preferenza...

[gabriella127]

Ricordo un noto libro analisi, Analisi 1 di Apostol, che appunto tratta prima gli integrali delle derivate.
La scelta è giustificata da motivazioni storiche (sono nati prima gli integrali delle derivate) e da motivazioni didattiche.
Le motivazioni didattiche sono che è più immediato parlare degli integrali (definiti) in quanto il problema dell'area è più comprensibile da studenti del primo anno, che gli studenti intanto imparano le funzioni a scalino, e a usare le sommatorie, e poi gli è più facile passare a funzioni più generali. Inoltre parlando del'integrale, dopo avere studiato i numeri reali, si ha un esempio chiaro dell'uso della completezza dei reali.
Questo è quanto si dice nell'introduzione.
Ma poi, come dice gugo, de gustibus.

[Settevoltesette]

Grazie Gabriella

[gabriella127]

Figurati!

[Luca.Lussardi]

Non credo che sia tanto questione di gusti, molti risultati di calcolo integrale si fondano sul calcolo differenziale, quindi anticipare gli integrali fornisce un teoria incompleta in quanto dovresti tornarci dopo aver fatto il calcolo differenziale.

Per quanto riguarda l'origine se guardiamo ai concetti di derivata e integrale per come siamo abituati noi la nozione di derivata precede quella di integrale: è sostanzialmente solo con Newton e Leibniz che si arriva al nostro integrale e al teorema fondamentale del calcolo. Se guardiamo invece ai problemi che stanno concettualmente dietro ai due calcoli allora l'origine è più o meno contemporanea e si trova nei greci: quadrature di figure piane o cubature di figure solide sono accompagnate dalla ricerca delle tangenti alle curve classiche.

[Settevoltesette]

Insomma, invertire quell'ordine non é un buon modo di procedere. Mi sembrava strano in effetti.

[gugo82]

In realtà non ci sono un “buon” modo di procedere ed un “cattivo” modo.

Mi sovvengono pochi risultati di Calcolo Integrale che presuppongono il Calcolo Differenziale: i vari criteri di integrabilità per funzioni monotone, continue ed i Criteri di Riemann e Vitali-Lebesgue non sono basati sul Calcolo Differenziale eppure sono i risultati che servono per descrivere (in maniera più o meno fine) quali sono le funzioni integrabili secondo Riemann.
Analogamente, la teoria dell’integrale di Lebesgue tratta di funzioni tanto irregolari che immaginare di poterle derivare è un peccato capitale.
Anche il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (TFCI), che si potrebbe prendere come esempio, in fondo è un risultato di Calcolo Differenziale: una funzione costruita in una certa maniera è derivabile ed ha una derivata così e così. Quindi può essere trattato in connessione con le derivate, così come tutti i teoremi sulle primitive ed i metodi di integrazione indefinita.
Pertanto, non c’è nulla di “cattivo” nel proporre prima il Calcolo Integrale e dopo il Calcolo Differenziale.

Più che altro è una scelta di stile, come tante, che il Matematico è chiamato a fare.


P.S.: Ripensandoci a posteriori, in realtà la scelta di stile che determina il modo di presentare gli argomenti dipende essenzialmente da cosa si considera Calcolo Integrale.
Spiego.

Il nome “Calcolo Integrale” viene fuori, storicamente, dalle ricerche sul come effettivamente si calcolassero gli integrali, su quali fossero le funzioni (elementarmente) integrabili e sul legame tra derivazione ed integrazione. In questo senso, i teoremi classici che riguardano il Calcolo Integrale hanno a che fare con le derivate ed il legame è sancito dal TFCI. Pertanto in molti trattati il Calcolo Integrale viene posposto al Calcolo Differenziale come raccolta di risultati ancillari a quest’ultimo.

Tuttavia, tra metà ‘800 e primo quarto del ‘900, l’approccio alla teoria degli integrali è cambiata drasticamente ed è diventata autonoma rispetto al Calcolo Differenziale. Infatti, le nozioni fondamentali del Calcolo Integrale, i.e. la definizione di integrale, le proprietà dell’integrale, l’individuazione e la caratterizzazione delle funzioni integrabili, non dipendono in alcun modo da proprietà di regolarità (cioè dalla derivabilità) ma da proprietà di livello molto più basico. Dunque, se con Calcolo Integrale si intende lo studio dell’integrale (di Riemann, ad esempio) in sé, è sensato preporre il Calcolo Integrale al Calcolo Differenziale (al quale vanno “aggiunti”, come risultati ancillari, tutti i teoremi -TFCI, formule di integrazione indefinita, etc…- che consentono effettivamente il calcolo esplicito di alcuni integrali elementari).
Si potrebbe dire, in maniera tranchant, che il primo modo di procedere è quello “classico”, dal punto di vista “antico” dei padri del Calcolo, mentre il secondo modo di procedere è quello “moderno”, dal punto di vista dei padri dell’Analisi.

[axpgn]

Da un punto di vista della gente normale invece penso vi sia un motivo più pratico; come si dice spesso "derivare è meccanico mentre integrare è un'arte" quindi, in generale, viene più "facile" proporre prima le derivate