La matematica nella scienza e nella vita

[fausto1947]

Ciao,
forse ho trovato dove sbaglio ma non so il perchè.
Ragiono così:
Se dopo aver numerato tutti i punti di un segmento ne ho dimenticato uno significa che se aggiungo uno a quelli trovati ottengo un numero finito che è in contrasto con il numero infinito dei punti di un segmento.
Dov'è l'inghippo?
Fausto Novelli

[Raptorista]

No, la questione non è tra scegliere un numero finito e un numero infinito, è tra scegliere un numero infinito e un numero infinito "più grande". Il punto di quella discussione è far vedere che esistono diversi gradi di infinito, tra cui ad esempio quello che chiamiamo "numerabile", che significa "tanti quanti sono i numeri naturali" ed almeno uno più grande di questo. La dimostrazione che hai per le mani fa vedere che i punti in un segmento non solo sono infiniti, ma sono di più dei numeri naturali, che sono anch'essi infiniti.
La dimostrazione procede per assurdo con la seguente idea: faccio vedere che se i punti sono numerabili [i.e. li prendo tutti e li posso mettere in fila], allora succede "qualcosa di sbagliato" [i.e. ne ho lasciato fuori uno, contraddicendo il fatto che li avevo presi tutti], quindi deduco che i punti devono per forza essere non numerabili.

[fausto1947]

Ciao Raptorista,
sono giunto alla conclusione che mi mancano le basi dell'argomento, quindi, prima di continuare la discussione, è meglio che io vada in biblioteca a vedere se trovo qualcosa di idoneo da leggere.
Cosa mi consigli?
Fausto Novelli

[Raptorista]

Non c'è alcun requisito per queste cose, è solo una questione di logica.
Faccio un esempio: trova un numero che non sia nell'insieme \(\{123,234,345\}\). Evidentemente ci sono molte possibilità, ma una strategia che sicuramente funziona è la seguente: un numero è diverso da tutti i numeri di quell'insieme se è diverso da ciascuno di loro (ovvio) ed è diverso da un dato numero se differisce da tale numero almeno in una cifra in posizione corrispondente.
Ad esempio, cercando un numero di tre cifre lo posso scegliere in modo che la sua prima cifra sia diversa dalla prima cifra del primo numero (1); scelgo ad esempio 5. Poi chiedo che la sua seconda cifra sia diversa dalla seconda cifra del secondo numero (3); prendo 1. Chiedo infine la stessa cosa per il terzo numero, e scelgo 0. Il numero ottenuto, 510, non appartiene all'insieme perché è diverso da tutti i numeri dell'insieme.

Ciò che la tua dimostrazione fa è esattamente questo, ma con numeri di infinite cifre (nella forma 0,...).

Se capisci questo sei a posto.

[fausto1947]

Ciao Raptorista,
mi sono prese alcuni giorni di riflessione e sono giunto ad una conclusione che so già che dirai erreta.
Comunque è questa:
ho un segmento A B e lo divido in due parti nel punto C il quale è la fine della prima parte o l'inizio della seconda.
Però posso fare un'altra scelta,cioè prendo due punti contigui che chiamo C e D e con questi formo i due segmenti AC e DB.
Ora, secondo la mia logica, per quel che vale, se ho potuto prendere i due punti C e D significa che, quantomeno, sino a quei punto ho potuto numerare il segmento AB e quindi ho numerato AC, il quale non è più infinito.
Domanda: posso io iniziare a numerare i punti di un segmento? Se sì, significa che se ho numerato sino al punto n ed a quel punto mi fermo quel segmento è numerato. Se no, perchè molti esempi iniziano con la numerazione dei punti di un segmento?
Caro Raptorista, se io sono la media delle persone con le quali hai a che fare non ti invidio di sicuro.
Fausto Novelli

[gugo82]

Cosa vuol dire “numerare”?

E cosa sono due “punti contigui”?

[caulacau]

Soprattutto, visto che sembri non farti questa altra domanda, cos'è un segmento?

[fausto1947]

Buon giorno gugo82, buon giorno caulacau, buon giorno a tutti.
Io devo utilizzare termini usati da altri che conoscono questa materia nella quale io mi sono introdotto ultimamente in modo casuale.
All'inizio dell'argomento ho citato un libro del quale ho battuto due pagine e riporto nuovamente.

" Tutti gli insiemi considerati finora sono numerabili. Ve ne sono di altro genere? La risposta è affermativa.
Si prenda infatti un segmento "a". Esso ha infiniti punti. dico che l'insieme dei suoi punti non è numerabile.
Si potrebbe affermare che sono numerabili? Si dovrebbero allora poter ordinare tutti i punti di "a" in una successione A1, A2,A3, ....in cui non ne mancasse alcuno. Dimostrerò che si è tralasciato un punto.
Il nostro contraddittore comincia dunque ad ordinare i punti di "a", e, mentre è tutto intento a questa operazione, io costruirò un punto che egli è costretto a tralasciare.
Lui dice A1. E io allora scelgo un segmento parziale "a1" di "a" non contenente A1 ( figura ).Il mio avversario dice A2; e io scelgo un segmento parziale "a2" di "a1" non contenente A2 (figura). L'altro dice
A3, e io scelgo un segmento parziale "a3" non contenente A3. E così
continuamo. Si ha dunque ogni volta a(n+1) segmento parziale di an con An non contenuto in "an".
Faccio inoltre in modo che ciascuna volta a(n+1) non superi la metà di .I segmenti "an" si cotraggono in un punto C.
Asserisco che il mio avversario ha necessariamente tralasciati questo punto C. E, infatti, può essere C=A1? No,perchè C è su "a1", mentre "a1" è stato preso in modo da non contenere A1. Può essere C=A2 ?Nemmeno,
giacchè "a2" non deve appunto contenere A2. E si va avanti così. Potrà essere C=A1000 ? Neppure, in quanto C appartiene ad "a1000" che non ha A1000 fra i suoi punti. In generale C non può coincidere con nessuno dei
punti A1, A2, ... contati dal mio avversario. Egli non ha numerato "a" in modo completo: ha "dimenticato" C.
Avrei potuto cominciare con C, dice lui. Ma naturalmente, se avasse iniziato con C,gliene avrei scovato un'altro mancante. Quindi, in qualunque maniera egli cerchi di contare un insieme numerabile di punti
di"a",non esaurirà il segmento.
L'insieme dei punti di un segmento non è più numerabile. E' di un'infinità "più grande"."

L'autore del libro dimostra che il suo interlocutore non ha numerato i punti del segmento in modo completo ma ha dimenticato C. Dicendo questo afferma che tutti gli altri punti sono stati numerati, ordinati e nominati A1,A2,......An, e afferma anche, quindi, che tra un punto e l'altro non ne esistono altri ed allora, ad esempio, A8 è contiguo ad A9,

Caulacau mi chiede cos'è un segmento: che io sappia un segmento è una parte di retta delimitata da due punti.

Fausto Novelli

[caulacau]

Esistono rette che hanno esattamente tre punti; quindi probabilmente una retta non è un oggetto geometrico intrinsecamente non numerabile. Lo è la retta _reale_, perché la geometria reale è continua. Il mio consiglio è di lasciar perdere sia la geometria, sia l'intuizione geometrica, che è successiva a una proprietà più intrinseca dei numeri reali. Ci sono tante geometrie, ma c'è solo un insieme dei reali.

Ora, il tuo problema è di non capire l'argomento di Cantor che dimostra che (per esempio) l'intervallo $[0,1]$ non è un insieme numerabile. Una delle cose che secondo me non ti è chiara è che non è stato lasciato fuori un punto, bensì ne sono stati lasciati fuori un'infinità; e un'infinità talmente grande che, se venisse tolta infinite volte un'infinità numerabile, l'infinità dell'insieme dei rimanenti sarebbe rimasta la stessa.

In maniera un po' più formale, se $A$ è un sottoinsieme numerabile di $[0,1]$, allora la differenza insiemistica \([0,1]\setminus A\) ha lo stesso numero di elementi di $[0,1]$ (diciamo \(\mathfrak c\) questo numero di elementi); e ancor più forte, se $A_1, A_2, ...$ sono una famiglia infinita numerabile di insiemi numerabili, tutti disgiunti tra loro, allora \([0,1]\setminus \big(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\big)\) è ancora un insieme con \(\mathfrak c\) elementi. Ancor più forte: se $X$ è l'insieme di tutti i numeri razionali compresi tra $0$ ed $1$, allora \([0,1] \setminus X\) ha ancora \(\mathfrak c\) elementi.
Nessun oggetto fisico ha questa proprietà per cui togliere una parte non ne muta il numero di elementi. Se non altro perché è già impossibile esibire un esempio fisico di insieme infinito (a parte la stupidità di certe persone, diceva qualcuno), figuriamoci un esempio di insieme che è "più infinito di qualsiasi infinito" e che "resta con lo stesso numero di elementi anche privato di un insieme infinito di insiemi infiniti".

La dimostrazione di Cantor, ora, è completamente elementare se rinunci alla volontà di "vederla" e semplicemente ti abitui al modo di ragionare; incidentalmente, è anche una delle dimostrazioni più belle che esistano, proprio perché è elementare e inaspettata.

Supponi di essere riuscito a numerare tutti i reali compresi tra $0$ ed $1$. Li scrivi in una lista infinita, diciamo
\[
\begin{array}{lr}
0. & {\color{red}7}9382759257...\\
0. & 5{\color{red}7}938257979...\\
0. & 58{\color{red}3}24759285...\\
0. & 138{\color{red}4}4759329...\\
0. & 8946{\color{red}2}353892...
\end{array}
\]
Fai caso al fatto che ho colorato di rosso dei numeri. Adesso guarda: ti faccio vedere che c'è un numero che non hai scritto.
Essendo compreso tra $0$ ed $1$ deve iniziare con "zero virgola". E fin qui ci siamo. Ora io scrivo
\[
0.12789...
\]
Ho costruito questo numero così: se $a_n$ ("a" come "auspicabilmente ho contato tutto") è l'$n$-esima cifra dell'$n$-esimo numero della lista di tutti i numeri, l'$n$-esima cifra $p_n$ ("p" come "abbiamo un problema") del nuovo numero è minore di 4 se $a_n$ è maggiore di 4, e maggiore di 4 se $a_n$ è minore.

Ora, per quale motivo il numero $0.p_1p_2p_3...$ non sta nella lista? Beh, è diverso dal primo, perché la prima cifra è diversa; è diverso dal secondo, perché la seconda cifra è diversa; è diverso dal terzo, perché la terza cifra è diversa... Ed è diverso da ogni altro, per lo stesso motivo.

Benissimo, metti anche questo numero.

Però ora puoi rifare lo stesso ragionamento, e ottenerne un altro. Metti anche quello; però ora... insomma, ci siamo capiti.

[mgrau]

Dicendo questo afferma che tutti gli altri punti sono stati numerati, ordinati e nominati A1,A2,......An, e afferma anche, quindi, che tra un punto e l'altro non ne esistono altri ed allora, ad esempio, A8 è contiguo ad A9,

Veramente questo non lo ha detto. Ha solo fatto l'ipotesi di averli elencati TUTTI, non necessariamente in ordine.
Del resto, se prendi anche solo i numeri razionali, questi SONO numerabili, cioè SI PUO' costruire un elenco che li contiene TUTTI; nonostante questo, anche fra i razionali, NON ESISTE il numero contiguo ad un altro, ossia fra due numeri razionali qualsiasi, si può sempre inserirne un altro (in realtà, INFINITI altri)