Re: Finito ed infinito

Messaggioda caulacau » 16/08/2019, 22:47

Ma c'è qualche matematico non platonico?

Beh, sì, il fatto stesso che esista un nome particolare per questa posizione relativa all'ontologia degli oggetti matematici implica che non sia l'unica.
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda gabriella127 » 16/08/2019, 23:34

mgrau, la mia era una battuta, ma sono d'accordo con te. Cioè, caulacau ha ragione dicendo che esistono altre posizioni. Ma al di là dell'eterna disputa tra platonici e non platonici, i matematici in effetti nella loro prassi quotidiana sembrano platonici, o almeno così si dice. C'è la famosa battuta per cui sono platonici durante la settimana e formalisti nel weekend, quando non lavorano ma gli viene caso mai chiesto di giustificare quello che fanno e non vogliono scocciature.
Io personalmente sono dell Jiad Platonica :D , non perché abbia solide cognizioni filosofiche, ma perché se un matematico fa ricerca pensando che quello di cui si occupa è mero gioco formale gli viene la depressione (per non parlare della visione retorica della scienza: è verità scientifica ciò che viene accettato dalla comunità degli scienziati: eh sì, mo' la scienza è uno scambio di calorose strette di mano).
Anche se la questione dal punto di vista filosofico è molto più complessa, non è vero che il formalismo, tranne che forse nelle sue manifestazioni più estreme, dice che la matematica è pura convenzione formale. Assolutamente non Hilbert, e neanche Bourbaki, mi pare. Questa è una vulgata non corrispondente al vero, ma non ne so abbastanza da trarne conclusioni.
Di fatto, credo che, comprensibilmente, i matematici quando lavorano abbiano bisogno di sapere che in un qualche senso stanno aumentando la conoscenza, non è che stanno giocando con formalismi, a dama o a rubamazzetto.
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda fausto1947 » 17/08/2019, 00:38

Ciao Gabriella,
non sono d'accordo sull'universo infinito.
Sono circa quindici miliardi di anni in cui l'universo manda energia verso il suo esterno ed in tutto questo tempo penso che sarebbe finito se non che questa energia venga restituita in qualche modo, magari raggiungendo un certo limite per poi tornare indietro.
Di più non so cosa dire, ma questo è il mio pensiero.
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda Luca.Lussardi » 17/08/2019, 08:15

caulacau ha scritto:Qualsiasi definizione di "matematica ordinaria" che mi viene in mente non rende vero questo enunciato.

Puoi fare un intero corso di laurea in matematica, un dottorato e fare il ricercatore senza sapere che cosa è l'aritmetica transfinita, questo è un dato di fatto. Non puoi fare tutto ciò senza sapere cosa è una derivata parziale, cosa è una conica o un piano tangente o un gruppo. E poi io parlavo di applicazioni al di fuori della matematica.
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda caulacau » 17/08/2019, 09:18

gabriella127 ha scritto:se un matematico fa ricerca pensando che quello di cui si occupa è mero gioco formale gli viene la depressione

(per non parlare della visione retorica della scienza: è verità scientifica ciò che viene accettato dalla comunità degli scienziati

E' un po' più complicato di così...
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda gabriella127 » 17/08/2019, 11:29

Certo che è più complicato, caulacau, non è una posizione filosofica, è solo una battutta che si fà spesso sull'atteggiamento, per lo più implicito, dei matematici. I quali, per lo più, non stanno tanto a tormentarsi su formalismo e platonismo. Che però contiene un elemento di verità, i matematici possono sentire che c'è un 'contenuto' reale nel pensiero matematico.
Un passo da uno scritto che ho letto di recente di un filosofo francese che si è molto occupato di matematica, Alain Badiou: "[...] è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico. Credono, invece, che gli oggetti o le strutture matematizzabili, in un certo senso 'esistano'. Da dove viene questa convinzione? Dal fatto che essi hanno ben presente l'esperienza di un 'qualcosa' che resiste loro quando fanno matematica; si scontrano con una realtà difficile e ribelle. [...] La natura esatta di questo reale è, però, tutt'altra faccenda1."


Però qui stiamo andando off topic, non era questo l'argomento proposto da Fausto.

Note

  1. Alain Badiou, Elogio delle matematiche
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda otta96 » 17/08/2019, 12:23

caulacau ha scritto:Ci sono teorie che non hanno modelli finiti.

Cosa c'entra con quello che ho detto io?
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda gabriella127 » 17/08/2019, 22:18

otta96 ha scritto:Infatti Gauss diceva (quando ancora non era stata sviluppata la teoria degli insiemi da Cantor e company) che l'infinito in matematica è solo un gioco di parole, e io sono d'accordo con lui nel senso che penso che di infinito in matematica ci sia solo quello della teoria degli insiemi.


Io trovo questa riflessione di otta96 (e di Gauss, in subordine :) )interessante. (Anzi, otta, se ti ricordassi dove Gauss l'ha scritta questa cosa mi farebbe piacere leggere la citazione).
Certo Gauss scriveva in altri tempi, poi di matematica ce ne è stata tanta altra, ci si può riflettere se nella matematica più moderna l'infinito entri in maniera 'essenziale' al di fuori della teoria degli insiemi, o non sia sempre ricondotto al finito. Non lo so.
E' vero che nella matematica fino ai tempi di Gauss l'infinito attuale non c'è, ad esempio anche quando si parla di somme infinite, cioè di serie numeriche, l'espressione 'somma infinita' è un pour parler, un modo di dire, un gioco di parole, come dice Gauss, soprattutto una volta avuta le definizione di limite, è in realtà un limite. Quindi un infinito potenziale, come dicevamo sopra addomesticato al finito, un trucco, come diceva Luca Lussardi, per domare un concetto ribelle come l'infinito.
Non so nella matematica successiva. Ad esempio, che dire degli spazi vettoriali a dimensione infinita?
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda caulacau » 17/08/2019, 23:07

Puoi fare un intero corso di laurea in matematica, un dottorato e fare il ricercatore senza sapere che cosa è l'aritmetica transfinita, questo è un dato di fatto.
Il fatto è che non è chiaro cosa intendessi con "aritmetica transfinita"; se intendi l'aritmetica dei cardinali (ossia lo studio della struttura di anello della classe dei numeri cardinali), sì, questo è vero (sebbene un matematico che ignora completamente la teoria degli insiemi farebbe meglio, almeno, a non fare matematica pura). Ma sembrava, dal tuo intervento, che si potesse fare matematica senza ricorrere alla nozione di infinito; questo è parecchio falso, come sa chi ha fatto almeno una derivata in vita sua.
Detto questo, spero tu ti renda conto che una persona che si occupa di calcolo delle variazioni e GMT non ha la minima autorità riguardo a un problema di fondazioni, né la sensibilità per capire l'importanza di alcune questioni che sembrano lana caprina perché distanti dal proprio lessico quotidiano. Forse se fosse Gromov, ma non è questo il caso.

Cosa c'entra con quello che ho detto io?
Non lo so, perché non si capisce cosa hai detto: cosa hai detto?

è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico.
E se si volesse fare matematica proprio in forza della sua natura linguistica? Se, di più, il linguaggio matematico, come ausilio al pensiero, fosse il presupposto al linguaggio organizzato? Nell'indifferenza generale, e con una visione avanti di almeno mezzo secolo, nel 1958 Lambek ha dimostrato[1] che una versione semplificata della lingua inglese è una categoria $\mathcal E(\text{en_US})$, i cui oggetti sono i "tipi sintattici" definiti dal linguaggio; e -più in astratto- "parlare una lingua $L$" è un processo che equivale a "eseguire una computazione nel modello di type theory che la sintassi di $\mathcal E(L)$ costituisce". Questa equivalenza è talmente stretta che la deduzione naturale à la Gentzen diventa proprio la riduzione di una frase $s$ alla sua forma normale.

E noi stiamo a parlare di Gauss († 1855!) e dell'infinito attuale e potenziale manco fossimo de Finetti? La matematica è completamente diversa da quella che Gauss faceva e pensava. Perlomeno, quella moderna :roll:

Certo Gauss scriveva in altri tempi, poi di matematica ce ne è stata tanta altra, ci si può riflettere se nella matematica più moderna l'infinito entri in maniera 'essenziale' al di fuori della teoria degli insiemi, o non sia sempre ricondotto al finito.
Non solo lo fa, ma lo fa ineliminabilmente in analisi, algebra, geometria, teoria della dimostrazione, logica... E di nuovo, allora di cosa stiamo a parlare?

[1] : https://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/1581 ... mbek58.pdf
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Re: Finito ed infinito

Messaggioda Luca.Lussardi » 18/08/2019, 08:22

caulacau ha scritto:Ma sembrava, dal tuo intervento, che si potesse fare matematica senza ricorrere alla nozione di infinito; questo è parecchio falso, come sa chi ha fatto almeno una derivata in vita sua.

Ovviamente lungi da me pensare questo. Hai ragione, io mi riferivo esattamente all'aritmetica dei cardinali, ma questo non presuppone che uno ignori la teoria degli insiemi, essa fa parte del bagaglio di tutti i matematici, che la studiano nei primi anni di corso...
caulacau ha scritto:Detto questo, spero tu ti renda conto che una persona che si occupa di calcolo delle variazioni e GMT non ha la minima autorità riguardo a un problema di fondazioni, né la sensibilità per capire l'importanza di alcune questioni che sembrano lana caprina perché distanti dal proprio lessico quotidiano.

Non mi conosci, quindi non sai che tipo di sensibilità ho rispetto a problemi di fondamenti, e non sai ad esempio che ho anche insegnato storia dell'analisi e tenuto delle conferenze sui fondamenti della matematica. Se ti limiti a dire che non ho pubblicazioni scientifiche su questi argomenti questo è un dato di fatto, ma l'attività di un ricercatore non si limita alle pubblicazioni scientifiche, e dovresti saperlo.
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