Puoi fare un intero corso di laurea in matematica, un dottorato e fare il ricercatore senza sapere che cosa è l'aritmetica transfinita, questo è un dato di fatto.
Il fatto è che non è chiaro cosa intendessi con "aritmetica transfinita"; se intendi l'aritmetica dei cardinali (ossia lo studio della struttura di anello della classe dei numeri cardinali), sì, questo è vero (sebbene un matematico che ignora
completamente la teoria degli insiemi farebbe meglio, almeno, a non fare matematica pura). Ma sembrava, dal tuo intervento, che si potesse fare matematica senza ricorrere alla nozione di infinito; questo è parecchio falso, come sa chi ha fatto almeno una derivata in vita sua.
Detto questo, spero tu ti renda conto che una persona che si occupa di calcolo delle variazioni e GMT non ha la minima autorità riguardo a un problema di fondazioni, né la sensibilità per capire l'importanza di alcune questioni che sembrano lana caprina perché distanti dal proprio lessico quotidiano. Forse se fosse Gromov, ma non è questo il caso.
Cosa c'entra con quello che ho detto io?
Non lo so, perché non si capisce cosa hai detto: cosa hai detto?
è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico.
E se si volesse fare matematica proprio in forza della sua natura linguistica? Se, di più, il linguaggio matematico, come ausilio al pensiero, fosse il presupposto al linguaggio organizzato? Nell'indifferenza generale, e con una visione avanti di almeno mezzo secolo, nel 1958 Lambek ha dimostrato[1] che una versione semplificata della lingua inglese è una categoria $\mathcal E(\text{en_US})$, i cui oggetti sono i "tipi sintattici" definiti dal linguaggio; e -più in astratto- "parlare una lingua $L$" è un processo che equivale a "eseguire una computazione nel modello di type theory che la sintassi di $\mathcal E(L)$ costituisce". Questa equivalenza è talmente stretta che la
deduzione naturale à la Gentzen diventa proprio la riduzione di una frase $s$ alla sua forma normale.
E noi stiamo a parlare di Gauss († 1855!) e dell'infinito attuale e potenziale manco fossimo de Finetti? La matematica è completamente diversa da quella che Gauss faceva e pensava. Perlomeno, quella moderna
Certo Gauss scriveva in altri tempi, poi di matematica ce ne è stata tanta altra, ci si può riflettere se nella matematica più moderna l'infinito entri in maniera 'essenziale' al di fuori della teoria degli insiemi, o non sia sempre ricondotto al finito.
Non solo lo fa, ma lo fa ineliminabilmente in analisi, algebra, geometria, teoria della dimostrazione, logica... E di nuovo, allora di cosa stiamo a parlare?
[1] :
https://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/1581 ... mbek58.pdf